CHAPITRE XVI. 487 dX 2x1 he 32° — 6x + a

rs Et +2? J'A + etc.,

we EX = d'A + (x — 1) SA + Ste MA + etc.,

et PL SA + (x — 3) MA + etc.

etc. .

On connaîtra donc les coefficiens différentiels dont il s’agit, par les diffé-

rences d'A, d'A, d'A que la table donne immédiatement. 105. Dans le cas de x = 1, on a aa, et les formules deviennent

w Du JA + 4 JA — L JA + JA + ete.

da o" LE = d'A — d'A — etc.,

w = d'A — } JA + ete.

Celles-ci offrent des formules un peu plus convergentes que celles de l’article 691, de sorte qu'il y a quelqu’avantage à déterminer les coefliciens différentiels de la fonction logT(a +) par le moyen des différences qui répondent à la fonction précédente log Ta.

156. Appliquons les formules précédentes à la fonction X=logT(1 3); alors on fera a = 1.333, x=#, et les différences données immédiatement dans la table seront -

d'A == — 57 262 267, d'A = 475 486, d'A = — 483, d’où résultent les valeurs suivantes des coefliciens différentiels,

SR ÉÈRE

Pour vérifier le premier de ces résultats, on pent avoir recours” à'la formule (33) qui donne (1 — =) dx

Effectuant l'intégration indiquée entre les limites x2=0, æ= 1, il vient

dx :

m =B+am— lg27 — +,

488 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

et en substituant les valeurs numériques, D = — 0.057 541 542 008 65, d’où l’on voit que nos déterminations sont aussi exactes qu’un peut le désirer.

157. Lorsque a est un nombre rationnel 7, on a vu dans l’art. 122 que Pintégrale Z = [ Ce 9 LE , prise depuis x=0 jusqu'à æ= 1, est exprimée par =— nB,,, B. étant une quantité dont la valeur est donnée par arcs de cercle et par logarithmes (ibid.). Mais si l’on suppose, par exemple, a =$, la valeur de B, dont il s’agit sera tellement compliquée, qu’il de-

viendra à peu près impossible d’en tirer la valeur numérique de l’intégrale Z, et la dificulté serait encore plus grande si à était une fraction plus composée.

Dans ce cas, l’intégrale dont il s’agit pourra se trouver d’une manière beaucoup plus facile par la formule de Particle 122, qui donne

Z=C+MTE or pour la valeur a= 1.563, on trouve le coefficient différentiel

dore — 0.040 734 344.

Aünsi on aura l’imtégrale cherchée Z=0. 671 009 958, laquelle doit être exacte au moins jusqu’à la huitième décimale.

Nous somnfès entrés dans d’aësez grands détails sur ces diverses méthodes d’interpolation, parce qu’elles sont peu connues, et qu’elles peuvent s’appliquer à toutes les tables dans lesquelles il est nécessaire d’avoir égard aux différences du troisième ordre.

En terminant ici le Traité relatif aux deux sortes d’Intégrales définies que nous avons désignées sous le nom d’Zntégrales Eulériennes, nous croyons devoir faire observer que les divers perfectionnemens qu’a reçus la théorie de ces intégrales, depuis qu’elle est sortie ‘des mains de son illustre auteur, sont le fruit des recherches que nous avons publiées successivement dans plusieurs écrits, savoir : 1°. dans le Mémoiresur les Transcendantes elliptiques (Paris 1793); 2°. dans les Mémoires de la classe des Sciences Physiques et Mathématiques de l’Institut pour l’année 1809; 3°. enfin, dans les parties 11 et LV des Exercices de Calcul intégral. D’autres géomètres ont publié le résultat de quelques travaux particuliers sur la même matière; maisils n’ont fait

que reproduire sous une autre forme les résultats trouvés long-temps auparavant par Euler.

TABLE DES LOGARITHMES DE LA FONCTION Fa,

Calculés à douze décimales, pour toutes les valeurs de la racine a, de millième en millième, depuis 1.000 jusqu’à 2.000.

On y a joint leurs différences première, seconde et troisième.

Âg0 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

a. Log. ra. Dif. 1. I. [UL] à. Log. ra.

1.000/0.000 000 000 000 230 324 559!713 343 1039/1.050,9.988 337 858 790|215 278 738]664 580 1.001/9. 999 7 49 675 441l24 gr sas 30{|1035]: . 05119. se 121 980 0b2/215 214 158,663 1.002|9.999 $00 o64 2351348 + g12/711 266 103411. 0529. 987 qo6 765 894214 550 489 1662 ls oo219- .999 251 165 313,248 1 ü46/7 mao 23210311. 053 .€ ( 215 4051213 sd Fr 661 1.004/9. 002 977 66/2. ue 4141709 201|/1030f1 ,0541g. 327 Énéla13 22 1.009.008 755 500 25 246 213 708 SL 1024h1.0559. 265 101 1e 212 564 nee

Re 998 508 = 732 32 oo 46 060 042|707 147/1025 1.007|9. 098 262 671 998/245 352 895|700 122|1020 00710 -208 202 319 03[244 646 ur 102/1018 9-6 1.009/9.997 772 672 330 nds se 71|704 o84l1014h1. .986 78 7131200 930 ie d 1.010{9.997 228 730 659|243 237 587 703 070 5 9 he 273 hi Gp BE 1.01119.997 2 285 493 He 242 534 515[702 056| 10081. 208 G18 Eat 51888 1.012/9.997 042 4 555|241 832 F. 7ot 4 10081 . . res 95 À 26 1 718 1.013819. 6 801 126 004124 1131 413/700 ojoh1o0f}1 063 652 ep 1.014/9.996 559 994 6B1|240 431 3731099 6361602 .06 Des Doi 188 .015|9. we 319 503 563 308/239 239 732 337698 034 .) ue 830 971 Fè 034 303|607 036