CHAPITRE XVI

différences-successives JA, d'A, d'A, etc. On a © — 0.001 quand on prend dans la Table les termes qui se suivent immédiatement ; mais on pourrait également faire #=—=0.002, 0.003, ou plus, afin de rendre sensible la différence quatrième d'A qui est presque toujours au-dessous d’une unité décimale du douzième ordre, lorsqu'on prend w 0.001.

En se bornant à l'hypothèse w = 0.001 qui est la plus simple, puisque la Table donne, sur une même ligne, les nombres À , JA, d'A, d'A , on

voit que la valeur qui en résult le cofficient

oït que la valeur qui en résultera pour le coflicient +, ne sera approd'A da* que jusqu’à la sixième, et celle de 7 jusqu’à la troisième. Mais c’est déjà

chée que jusqu’à la neuvième décimale à peu près; celle de ne le sera

un grand avantage d’avoir les deux premières trauscendantes d’une manière si facile et avec un pareil degré d’approximation. ,

152. Soit, par exemÿle, a= 1.500; les différences données immédiate-

ment dans la table pour cette valeur de 4, sont

d'A = 16 050 324, d'A = 405 620, d'A = — 359; on en tire les coefliciens différentiels a = 0.015 847 394, TE = 0.405 979, + =—0. 359. Si, au lieu de faire #—0.001 , on fait w=—0.002; c’est-à-dire, si on prend dans la Table les fonctions A qui répondent aux racines successives 1.500, 1.502, 1.504, 1.506, 1.508, on aura les valeurs de d'A, d'A, d'A, MA, comme il suit, d'A = 32 506 268, d'A = 1 621 044, d'A—— 2865, d'A=:10. De là résultent les coefliciens différentiels,

A 01015 847 394 250, De = 2.405 9705, x = — 0: 5600.

Soit encore & — 0.005, on aura à considérer. les différences successives des termes de la Table qui répondent aux racines 1.500, 1.505, 1.510, 1.515, 2.520; ces différences sont d'A=84 304 232, d'A—10 104 7915, d'A=—44 425, d'A=534, et on en déduit les coefficiens différentiels

dA ET , . d'A Ts —=0+019 847 594 55, 77 =0.105 979 52, as —=—0.559 89.

486 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Ces valeurs diffèrent peu des précédentes et semblent devoir être plus approchées de la vérité, parce qu’on a tenu compte des différences quatrièmes devenues sensibles par une plus grande valeur de w; cependant la valeur de : w ne doit pas passer une certaine limite, et cette limite qu’il serait difficile de déterminer avec précision, dépend de la loi que suivent les différences successives de la fonction A.

153. Dans l'exemple précédent, il est facile de vérifier la valeur obte-

nue pour D car en faisant a= + dans la formule (55), art. 122, et observant que les logarithmes de la formule doivent être multipliés par le mo-

dule m= ü pour les changer en logarithmes vulgaires , on aura

M ou — C+ [US

1—X% L'intégrale du second membre, prise depuis x =go jusqu'à æ= 1, est égale à 2 —2M l2; donc dA

Mais on a fait ci-dessus B=—(1—C) ; ainsionaura —=m#+B— 24; ce

qui donne, en substituant les valeurs connues,

= 0.015 847 394 345 69, valeur qui doit être exacte jusqu’à la quatorzième décimale : elle prouve que les résultats obtenus par la méthode précédente, sont moins exacts dans l'hypothèse w= 0.005 que dans l'hypothèse w —0.002.

154. Les formules précédentes donnent les coelliciens différentiels de la fonction À = log Ta, en supposant que 4 se trouve immédiatement dans la table ; mais s’il faut trouver les coefliciens différentiels de la fonction X = log (a+ wx), qui est intermédiaire entre les deux fonctions consécutives données par la table A= log Ta, A+ d'A = log T(a + æ),oici comment on résoudra ce problème d’interpolation :

On a généralement

= Y Œ s sta r3 s X= À + xdA + — PAF d'A + etc., et si l’on fait a+wx=a, on aura, en supposant que x senl varie, da = «dx, d'où wo = 7 Diflérenciant donc la valeur de X par rapport à æ, et réi-

térant les différentiations, on aura