CHAPITRE XVIE

Sur les Intégrales Eulériennes indéfinies de la seconde espèce.

158. Nous n’avons considéré jusqu'ici que l’intégrale définie Sax (1 D Fr terminée à la valeur æ=1, et nous l'avons désignée par Ta; nous allons maintenant nous occuper de l'intégrale indéfinie qui se présente dans un assez grand nombre de recherches, et qui offre des diflicultés particulières lorsqu'on veut la déterminer avec un certain degré de précision pour de très petites valeurs de x. Nous prendrons de là occasion de résoudre, tant par des formules que par des Tables suffisamment étendues, le cas dea=0 et

; x dx dx celui de a=;, qui sont ceux des transcendantes 1 , Sur les- (

$ 1. Formules diverses pour évaluer par approximation l Intégrale indéfinie

fdz (LT.

159. Nous représenterons par (a, x) l'intégrale indéfinie f dx (log 2) |

quelles plusieurs géomètres se sont exercés.

prise depuis æ = 0 jusqu’à une valeur quelconque de x ; et dans cette dénomination T(a. 1) sera la mème chose que l’intégrale définie déjà désignée Par Ta.

Cela posé, l'intégration par parties donnera la formule

T(a, zx) = æ (log NT +(a—:) T(a—1, x), (48)

d’où il suit que l'intégrale T' (a, x) peut toujours se ramener à une intégrale semblable dans laquelle à est compris entre 1 et 2, ainsi que nous l'avons fait pour l'intégrale définie Ta.

- Cette même formule donnerait la valeur exacte de T(a, x), si à était un T. IL. 82

502 INTÉGRALES EULÉRIENNES, nombre entier; ainsi on aurait successivement Tr, a) = «x, T(a, x) = x lg : + zx, TG, zx) = æ (log + 2x log = 2x, r'(4, x) = x (log :) + 37 (3, x), etc.

Nous n’avons donc à nous occuper que des seuls cas où 4 est un nombre fractionnaire ou irrationnel.

160. Soit log ==5, on aura la transformée T(a, x) = /—2e"dz, d’où résulte en développant l’exponentielle et intégrant, # , s+ + + TG, x)=Ta— + ses +53 NE — etc.; (49) cette formule donne la valeur de T(a, x) par une suite qui peut étre divergente dans les premiers termes, et d'autant plus divergente que x est plus petit, mais qui finit toujours par être convergente. Cette suite est convergente dès les premiers termes, si æ n’est pas plus

petit que 55 ; elle peut néanmoins être employée avec succès pour des va-

leurs beaucoup plus petites de x, telles que x = 5, ou même x=— 755 mais alors il faudra calculer un assez grand nombre de termes de la série. Par exemple, si æ =0.1, il faudra calculer douze à treize termes de la série pour avoir la valeur de l'intégrale approchée jusqu’à la cinquième ou la sixième décimale. On trouve de cette manière T (3, 0.1) = 0.056497. À mesure que x devient plus petit, il faudra prolonger plus loin la suite pour obtenir un égal degré d’approximation, de sorte qu’il convient de recourir à un autre moyen pour évaluer l’intégrale avec précision, lorsque æ est très petit, tel que 5, 255, etc. :

161. Il semble qu’on pourrait calculer l'intégrale T(a, x), lorsque x est très petit , au moyen de la formule (48) qui donne par des transformations successives (a, x)=2x(2" H(a—31)3" + (a — 1) (a—2)3 + etc.] (50) Cette série étant continuée suffisamment , ses termes deviendront alternativement positifs et négatifs, de sorte qu’on aura des valeurs allernative-

ment plus grandes et plus petites que l'intégrale cherchée. Mais | comme la