CHAPITRE XVII: 5o

suite, qui est d’abord convergente, devient nécessairement divergente après un certain nombre de termes, il faudra s’arrêter au point où la divergence commence, et on n’aura ainsi qu'une approximation bornée qui pourrait être insuffisante.

Si on appelle P* le terme de rang n dans la formule (50) et P"+: le G=— 1 s lorsqu'on aura n= où > & +-2, et alors la suite ne devra pas être pro-

longée plus loin.

162. Soit, par exemple, a=-,2x=—, on aura 2=log 100==4.60517, et a+ 3=—5.1. Ainsi la suite ne devra pas être prolongée au-delà des 5 ou 6 premiers termes. En effet, on a en faisant z2= log 100,

terme suivant, on aura P°+' =

P*; ainsi la divergence coinmence

1 : 1 -: 1, -3,,13,-4 1.3.5 -1 FC se ps ms he), et par le calcul de termes successif, on trouve ©

+ st = + 0.016479 0.431876 —: 25 3 * = — 0.008946 Le 0.422930 +252 s7À = + 0.006799 1.3.5 Le 0.429729 2 253 A Rules 9.006644 0.423085 HER 7 me + 0.007755

On voit qu'il est inutile d’aller plus loin que le sixième terme, puisque la suile devient divergente à compter de ce terme. Il résulte de ce calcul que la somme cherchée est plus grande que 0.425085, et plus petite que 0.429729. Pur un milieu, on trouve la somme

5o4 | INTÉGRALES EULÉRIENNES,

de la suite = 0.426407, et on voit qu’on ne peut compter sur plus de quatre décimales exactes dans cette évaluation ; il en résulte pour la valeur de l’intégrale cherchée, T(a, x) = 0.004264.

163. Si en prenant toujours a=;, on eût fait x = = > On aurait vu d’abord que la suite ne doit être prolongée que jusqu’au neuvième terme, et par le calcul effectif des termes, on aurait trouvé que l'intégrale cherchée est comprise entre zX0.357708etxX 0.557175. Le milieuestxz Xo.35744 ; d’où résulte l'intégrale T(a, x) = 0 .00035744. ..

En général la formule (3) donnera d’autant plus de précision, que x sera plus petit; mais cette précision ne s’obtiendra que par le calcul d’un plus grand nombre de termes, puisque pour tirer de la suite toute l’approximation qu’elle peut offrir, il faut la prolonger jusqu’à ce que le nombre de ses

termes soit a + 3 ou a+ log :.

Si on appliquait la formule (3) au cas de x — = déjà résolu par la for-

mule (2), on trouverait que la suite cesse d’être convergente au qftrième terme. Les deux premiers termes donnent T'> x x 0,5 159, et les trois pre. miers donnent T< x x 0.6091; il en résulte par un milieu, T= zx X 0.5625=0.05625 , tandis que la vraie valeur est 0.056497. Il convient donc de préférer la formule (2) lorsqu'on voudra avoir au moins quatre chiffres significatifs exacts, et que la valeur de x ne sera pas plus petite que 0.01. Nous verrons ci-après quels sont les moyens d’obtenir une approximation plus grande ou même indéfinie.

164. Jusqu'ici nous avons supposé tacitement que x ne surpasse pas l’u- + « ; . Q » s—:1 .

nité; mais on peut aussi demander l'intégrale Jäx(17) pour une valeur

de x plus grande que l'unité. La partie comprise depuis x=0 jusqu’à x— 1, est connue et représentée par T (a); ainsi tout se réduit à trouver l'intégrale depuis x=— 1 jusqu’à une valeur quelconque de æ> r,

Remarquons d’abord que dans tout cet intervalle, Z (2) étant négalif, il

faudra mettre l’intégrale sous la forme (— :1}—1/x({x)—1, Je fais abstraction du facteur (— 1)" qui peut être réel ou imaginaire, suivant les diverses valeurs de a, et je considère simplement l'intégrale fdx (Lx)—" que je désigne par (a, x), et qui est supposée nulle lorsque x = 1. |

Si on fait x =u, on aura x=e", et l'intégrale dont il s’agit deviendra