CHAPITRE XVII. 5oÿ

Ju—'du.e" = fu—"'du(x +u+ Lu + etc.); d’où l’on tire 1 us+s t us+3

JG a = + +: “ds Ts «ga tete, (51)

formule où il n’y a pas de constante à ajouter, parce qu’elle s’évanouit lorsque æ = 1.

La suite comprise dans cette intégrale pourra être divergente dans les premiers lermes; mais elle finira tonjours par être convergente. Ainsi on en tirera dans tous les cas une valeur aussi approchée qu’on voudra de la vraie intégrale, et il est visible que cette valeur deviendra infinie si on fait x = 0. |

165. On peut encore mettre 4 (a, x) sous une forme plus commode. Soit fu—'du . e* = Pe*, on aura u—" = P + D soit ensuite P — + Aut+: . , — RTE — rs .

+ Bu+* —L etc., on trouvera À = 2 PE D TE VIP etc. ;

donc ut+1 us+s

u* = JG, 2) = 5 crc — 4e ), (52) série qui aura, comme la précédente, la propriété de devenir toujours convergente, mais qui aura de plus l'avantage de donner des valeurs alternativement plus grandes et plus petites que Fintégrale cherchée; de sorte que le degré d’approximation sera connu dans chaque cas par la différence de deux termes consécutifs.

$ IL De l'Intégrale = fs , ‘prise à compier de x == 0. 1 <

166. Cette formule résulte de la formule générale en faisant 4 = 0 ; soit

alors l- = 5 ou xæ=e"", on aura la transformée Z=f—e+, € ,qu'il

faudra prendre depuis 3=© jusqu’à 5: = l'; substituant au lieu de e—* sa valeur développée et intégrant, on aura 2° t à

L=—-C—b+s-;. + ere (53)

La condition, pour déterminer la constante C, est que Z s’évanouisse lorsque 3 = ® ; mais les quantités infinies que cette supposition introduit ne permettent d’en tirer aucun résultat et il faut recourir à d’autres moyens.

506 INTÉGRALES EULÉRIENNES, 167. Considérons pour cet ellet D

(= ’ prise de même à compter de x = 0, nous aurons | = — log (1 —x)—2, et par conséquent , £ 1 = 1 = V=C+log(——) 54e. Le ete. . (54)

I sufit de connaître la valeur de V dans un cas particulier pour déterminer la constante C'; or, si on fait x = 1 — ©, w étant infiniment petit,

on aura = — ———— = 1, de sorte qu’on aura dans ce cas V=—C".

L3 Mais par la formule de l'art. 120, on a dans le même cas V=—C; donc C'=C, C étant le nombre connu dans la théorie des fonctions F, dont la valeur calculée avec quelques décimales de plus que dans l’article 86, est

Cela posé , la formule (53) fera connaître lintégrale Z par une suite d’autant plus convergente que x sera plus près de l’unité; lorsqu'on fait x =1, on az=0o, et par conséquent Z devient infini ; mais cet infini n’est que logarithmique; car en faisant x 1—4@, æ@ étant infiniment petit, on a Z = log = — C + 0.

168. À mesure. que æ dimipue , z ou log = augmente de plus en plus, et la suite contenue dans la formule (53) devient de moins en moins convergente; elle peut même devenir divergente dans les premiers termes, lorsqu'on veut déterminer l'intégrale Z pour une très petite valeur de x, mais elle fimit toujours par être convergente après un certain nombre de

. ; . = , termes. Soit P le n°” terme de la suite a—; + = Fe, et P

le terme suivant, on aura, en général, P'= WE P; aïnsi la convergence de la suite aura lieu au plus tard dès qu'on are #— où >>. Par exemple, si l’on a x —e"° = 0.0000454, ce qui donne 3== 10, la série sera convergente au dixième terme, ou même dès le neuvième, puisqu’en faisant n= 68, on D Mais on voit en même temps que la grandeur des termes qui précédent le point de convergence, et celle d’un asser grarrd