Considérons plus généralement l’équation différentielle
DR + + Emo, (57)
dans laquelle & et 6 sont des coefficiens constans; si l’on fait T= 1 ALT", | on aura la transformée
dt’ DATE. D) — (e + EX + (1 — ag AT — METE = o.
Le coeflicient # étant arbitraire, on peut faire £=— & + 6 ; alors divisant tout . par ACT"*, on aura Sat — a + (a+ OX — = 0.
Cette transformée est entièrement semblable à Ja proposée, puisqu’en faisanta =1—a, 6'= a+ 6, on peut la mettre sous la forme
CHAPITRE XVII 509 £'dT" a+: [ Le Prec + pr +68 Ts = > et on aura en même temps k — 6’.
172. Il suit de là que, par des substitutions répétées, oh obtiendra des transformées successives en T’, T” , T°”, etc., qui seront liées entre elles et dont les coefliciens seront déterminés par les équations suivantes:
T='HEET, a=1i—a, é=a+é, p=1'+H+CXl", a"=a, 1 +6, p=1+HEMT", ei a, 6"=i+at+é, ES = 1 H CUT", a" à, C'= 2 + 6, etc.
On pourra donc exprimer la fonction T par cette fraction continue Ti (+ G@+O EG +G HO (+ +e+6)ii (+ (246): (1 +ete., (58)
où il faut remarquer que les dénominateurs des fractions composantes sont tous égaux à l’unité, et que les numérateurs forment la suite
(a+ 6), (14+6X, (1 +a + EX, (2H 6X, (2-a+CX, etc. dont la loi est telle, que les termes croissent alternativement de (1 — «}} et de aë.
Cette expression sera l'intégrale de l’équation différentielle (57), si toutefois la fonction cherchée T doit se réduire à l’unité lorsque £ = o.
175. Cette condition étant remplie dans l'équation proposée (56), il y aura lieu de lui appliquer la formule (58); c’est pourquoi faisant a 1 — 4, 6—=0, on aura, pour l'intégrale générale Z = f:—'dx, cette expression en fraction continue :
Las: (1 (ra) (1 (2 a (128: (15 — a) pete. (59) où l’on voit que les numérateurs des fractions composantes forment la suite
(1—aY,€,(2— a), 28, (5 — a)£, 3€, (4— aX, etc., dont les termes
croissent alternativement de af et de (1—a}f. $ IV. Application a l'IntégraleT (0, x).
174. Maintenant si lon fait a=0, on aura, pour le cas particulier de l'intégrale Z = [ =, cette troisième formule T. IH. 85
510 INTÉGRALES EULÉRIENNES , Later agi(iHafi (436: (1 + etc. (60), où l’on voit que les numérateurs Ÿ, £, 27, 2£, 5£, 3£, 4, etc., croissent alternativement de o et de £.
Il n’y aura lieu d'employer cette formule que pour de très petiles valeurs de x, qui laissent encore Ÿ assez petit; car, par exemple, pour la
valeur x — 2 =0.0183, qui donne 3—4 et {=}, on pourra employer indifféremment la formule (53), qui ne cesse pas d’être convergente, ou la formule (60); le choix de l’une ou de l’autre dépend encore du degré d’approximation qu’on veut atteindre, et qui s’obtiendra plus facilement, tantôt par une formule, tantôt par l’autre. Pour mieux en juger, il faut faire voir quelle est la meilleure manière de calculer des fractions continues telles que la formule (60), dans laquelle les numérateurs augmentent à l’infini, tandis que les dénominateurs restent égaux à l’unité.
179. Soient G + G les trois fractions consécutives qui résultent du calcul de la fraction continue, exécuté suivant les règles ordinaires en s’ar-
rétant à la fraction composante Ê; on aura, d’après la loi connue,
P'=P+uP, Q=Q+uQ; de là PQ—PQ'=m(P"Q—PQ),
ou ra EG exe Y Q CL Q/ Supposons la différence à — positive =R°; on voit que la différence ; P” P ; suivante 75, — 7, sera négative ; en Pappelant —R, on aura =" Re R = Q : R°.
On parviendra donc à la valeur d en calculant par cette formule une suite de différences r, 7’, r'...,.. R°,R, qui, à partir du premier terme À de la série, s’appliqueront alternativement en plus et en moins au résultat de tous les termes précédens ; d’où l’on conclura
Pr g=A—r+r—....+R—-R.
Les signes des différences seront toujours alternatifs, tant que les indices h seront positifs, comme dans le cas proposé. On obtiendra donc ainsi des
