CHAPITRE XVII. TE

résultats alternativement plus grands et plus petits que la valeur totale que l’on cherche, ce qui donnera à chaque instant une mesure du degré d’approximation auquel on est parvenu. Lorsqu'il ne manquera plus qu’une ou deux décimales pour obtenir le degré désiré, on pourra s’arrêter à la dernière différence calculée R, et suppléer aux différences suivantes R’, R", etc., en considérant la suite R°, R, R', R’ comme une progression géométrique; dans cette hypothèse, faisant R=— aR°, on aura...... R—R'+ R'— etc. = R(1 — aa — etc.) = . = . - =" Pour plus d’exactitude, on pourrait avoir recours aux trois derniers termes R°, R°, R, et faisant R°=a°R°®, R=&@R?, on supposerait par analogie R'=&R, et l’on déduirait le rapport æ’ des deux rapports connus &*°, æ, par l'équation log æ&'= 2 log æ —log æ°; en-

; ainsi, au lieu de la

différence R, on prendra

suite, au lieu de R, on prendrait

176. Pour calculer facilement les différences R et éviter en même temps l'embarras des grands nombres auxquels conduirait nécessairement, dans ces opérations, l’accroissement rapide des indices g, voici comment il faudra procéder.

Soit la fraction proposée Z=X:(1+pui(1u,i(itui(itnest (idee;

les premiers termes, calculés à la manière ordinaire, sont : X X X(1+#) X(1 + pi, + ps)

12 re 1h 14e +a(i+4)?

et la série formée par la différence des termes consécutifs commence ainsi : X Xu Xpape, LT Goo + Pour la continuer indéfiniment, on prendra des auxiliaires 8, À, 8,, À,, 8,, À,, etc., d’après la loi suivante, qui comprend celle des différences R,R,, R,, etc.,

etc.,

etc.

0 = pu, A = R = XU,

BE =paA, À, = Tux R, = RO,À,,

Lux, Aæpy, Ræ Ra,

= Hs = FE BR, = Rs;

Vu, A= SE: R, = Rhy etc. cic. etc.

512 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Cela posé, la valeur de Z se calculera par la suite

Z=X—R+ER —R. HR — R, + etc,

qu’on prolongera jusqu’à ce qu’on ait obtenu le degré d’exactitude désiré.

177. Ces calculs, comme on voit, sont très faciles à faire par logarithmes; toute prolixité et toutes opérations inutiles en sont écartées; il suflira de calculer les termes X,R,R,, R,, etc., avec une décimale de plus qu’on n’en veut avoir dans le résultat, et l’on prolongera la suite des différences jusqu’à ce qu’elles appartiennent à l’ordre de décimales qu’on peut négliger, ou seulement jusqu’à ce qu’elles approchent de cet ordre, puisqu'on peut tenir compte des termes suivans par le moyen que nous avons indiqué.

Il est bon d’observer, au sujet de ces calculs logarithmiques, que pour

déduire chaque À du 8 correspondant, par l'équation = L= 140, 0on ÊEe

faire usage des formules souvent mentionnées log 8= loga=æ d, d' = EL > log D=log(ad') +}d"', d’où résulte log(1+4-8), ou — log A=log(1+4)+D. On prend pour a le nombre de la table dont le logarithme approche le plus de log 8; il suffit que à ait au moins le tiers du nombre de chiffres significatifs avec lesquels R doit être déterminé; mais il faut que log(1 +4) soit aussi donné dans la table immédiatement et sans interpolation.