CHAPITRE XVII

plus, à mesure que x augmente, et la formule (53) devient fort préférable, surtout si l’on a besoin d’une grande approximation.

179. Pour mieux apprécier la formule (60), essayons de déterminer combien il faudra calculer de termes de cette formule, afin d’obtenir la valeur de

2 avec un nombre À de décimales, ou de manière que l'erreur soit moindre que 107".

On remarquera d’abord que le n°” des numérateurs £, &, 28, 2£, 34, 34, etc., peut être représenté par (7 +sin*in7); or on a 8, =pu,A,,, ou (1 +8,-,)=p,; donc 8,(1+8,-,)=13%(n+sin in). De là on voit que 6, a pour limite (in), et qu’ainsi lorsque # devient un peu grand, on peut supposer 8, = y/(iÿ2).

Soit log R,= U,, l'équation R,=R,,8,à, donnera U, = U,, + 1 = : +.

=ÙU,., — "a =... — (x): d’où l’on déduit la valeur approchée

U, = const. — 2 VC)

Ainsi, à mesure que x augmente, le logarithme hyp. de R, approche de plus en plus de la limite: const. — 21/ (7 2) et son logarithme vulgaire, de la limite : const. — 2m v4 ( ») Si l’on veut donc que cette limite soit

—i, ON aura 21 VG)= const, + £, ou à peu près 7 = }M"7i, M étant le nombre 2.3025, etc. On voit par conséquent que le nombre #7 augmente en raison du nombre £, et aussi en raison du carré du nombre de décimales qu’on veut obtenir.

Soit, par exemple, x=0.01, ce qui donne 3=/ 100= 2M, = on

aura à peu près ñ = 3 Mi; dans ce même cas, x£ — = 0. 00217; donc

si l’on veut que Z soit déterminé avec dix décimales exactes, il faudra faire i=8, ce qui donnera n = 4M = 9.2; donc il suffira de 9 à 10 termes de la série des R, pour obtenir ce degré d’exactitude. Si l’on veut vingt décimales exactes, il faudra faire {= 18, ce qui donnera n=—46.5; ainsi la série des R devrait être prolongée jusqu’à 46 ou 47 termes.

Si l’on fait x=0.1, Ÿ sera égal à m» et l’on aura = 3 Mi*; dans ce même cas, x£ —=0.04354; donc, si l’on veut déterminer Z avec dix décimales exactes, il faudra faire i=9, et l’on aura 7= 22, c’est-à-dire qu’il faudra

514 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

calculer 22 ou 25 termes de la série, et pour l’avoir avec vingt décimales, il en faudrait calculer plus de 100. La formule (53) exigerait aussi environ 22 termes dans le premier cas, et seulement 32 dans le second, Nous ajouterons qu’à égal nombre de termes, l’usage de la formule (53) est préférable, parce que chaque terme se déduit très simplement du précédent.

180. Pour faciliter le calcul des fonctions Z, dans tous les cas où x n’est pas très petit, nous joignons ici une table des valeurs de la fonction V, cal- : culée pour toutes les valeurs de x, de centième en centième, depuis x= 1.00 jusqu'à x=0. Il nous aurait été également facile de donner la table des fonctions Z, puisque la somme de ces deux fonctions est égale à la quantité — /(1— x), donnée immédiatement dans la table des logarithmes hyperboliques. Mais l’interpolation pour les valeurs de x peu différentes de l'unité serait d’un calcul difficile et peu exact dans la table des fonctions Z, tandis qu’elle est très facile dans la table des fonctions V. D'ailleurs, con-

Le calcul de la table des fonctions V a été fait par la formule (54) ou par une formule équivalente, depuis x = 1.00 jusqu’à x = 0.80. Pour les valeurs suivantes, depuis x=0.80 jusqu’à x=0.06, nous avons préféré d'employer la méthode des ordonnées moyennes, corrigée pour les dernières valeurs de +, comme on l’a expliqué (art. 818). Enfin les cinq derniers termes, à compter de x= 0.05, ont été calculés par la formule (Go), qui donne la valeur de Z, d’où l’on tire celle de V.

181. L’interpolation de la table des fonctions V se fera à l'ordinaire, par la série des différences, tant que x ne sera pas plus petit que o. 10 ; il deviendra seulement nécessaire d’avoir égard aux différences du cinquième, ou même du sixième ordre, lorsque x approchera de cette limite, et dans ce cas, il conviendrait d'employer la série des différences dans l’ordre de x croissant.

L’interpolation peut aussi se faire en général, par une formule dont lapplication s'étend jusqu’à des valeurs assez petites de x.

Soit 4 le nombre de la table qui approche le plus de la valeur donnée æ=a—2«; on connaît la valeur correspondante de V(a), et par conséquent celle de Z(a); il ne s’agit donc Que d’avoir la différence = La) (aa). Pour cela soit +3, ce qui donne Z = f — %; soit ensuite a= e—+,

naissant V, on a immédiatement Z= I(

a—aze "tré, ou b=l:, E=l—-; soit enfin :=b—+ 4, on aura

CHAPITRE XVII. 515 Es jy œ «° = fre if de —5+ 58), intégrale qui devra être prise depuis # —0 jusqu’à © —6. Le premier terme 5 fe—*dæ donne 5 (1 — e—<), ou 23 les autres étant intégrés successivement

par le développement de e—*, on en tire

a 1 6,1 € 1 6 Ù = pt 7-55 34553 5 — ete.) as /1 ç 1 6 1 6 +BG—3+3 rs sta) (G1)

Cette formule pourra s'appliquer depuis x= 1 jusqu'à æ = 0.05 ; mais audessous de cette limite, il sera plus simple de calculer directement la fonc-

tion Z par la formule (60).

182. L'usage de la Table est borné à la valeur + = 1, qui rend la fonction Z infinie; passé x = 1, la fonction Z redevient finie ; elle diminue progressivement jusqu'à la valeur x=1.45137, où elle est nulle ; ensuite x continuant à augmenter, la valeur de Z devient négative et augmente jusqu’à l'infini. D’ailleurs depuis x = 1 jusqu'à æ= ©, cette fonction se déterminera avec tel degré d’exactitude qu’on voudra, par la formule (53), où il faudra changer le signe de z (excepté dans le terme 5), et faire z=logæ, ce qui donnera

RU NE EN ES mn

Imaginons une courbe dont l’ordonnée pour chaque abscisse x soit égale à la fonction 7; l'aire de cette courbe sera

[Ur = #12 f = 21 — Uæ), Fi

en désignant par Z(x*} ee que devient la fonction Z ou Z{x), lorsqu’au lieu de x on met x*. Si dans cette équation on fait x= 1—@,æ étant infiniment petit, on aura = 1— 20, L{x)=— Cl, Hx*)=—C— (20). Donc, fZdx= la; ainsi quoique lordonnée Z soit infinie lorsque x =1, l'aire de la courbe pour cette même abscisse, n’en est pas moins égale à la quantité fimie /2.

516 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

x Int. V. Dif. I. . LIL, LEV.N x.

.00/0.57721 56649 500 4 41806 — 84176| 858| 16 0. 4 re 14843/501 25982 874 56719 801502 HE 8| 892 . 303 De 55714 oo: 503 3724 709 g28 ‘ -29205 03902 30 4gp6 0.9510.55210 97197|504 71433 86: 947|xolo. ; 28640 0843615 0.94 o. Rte 2576041505 Goo7o c “066 .44 0. 28073 7 -93/0.54200 6506941506 49654 310.27504 7543315 370 451981 91179 .92l0. gr 16ote 507 40204 5 , }. oi: 3023515 572 36377 1 .-91|0.53 75836 508 31 = . .26361 € 0.90/0.52678 052678 44096 509 24283| « ».Éolo.32:69 1 .52169 950 510 1 1 7854 94022| 1073 .30lo.25211 RTE Are 362 0.51659 01959|511 1247 ) € ” -24632 9{006|580 +“ re .5r14 512 08171 ! .37/0.24052 48{28|582 ) 0. Bab Bars 513 sit 97912 | -23469 6882231584 Borr1|2 25)52 -85/0.50122 7963511514 02873] 99059|1170| 3olo.35lo. 22885 oB112 587 05663|2 31495

0 Bilo-£e es 73; 581515 01932 rec. “26l0.3410.22298 « 02449 589 9 37158/2 {29 6| 20)0.33l0. 21708 652915 591 7

0.820. cp 7 do385 517 03590|1 02055 3olo.32l0.21116 9037315 594