KART EN L

et on aura pour ses cherchée fFdx, ces deux ser dE dFo at /ŒF Fo Jde = MEET) + (ne a dE EL (4) 7 80240 \d etc.

de | ef [d'E dFo J'Fde = aN + D (TE — 5360 (de — ds.

31 &5 de Fo ) — ete.

157680 \dx5 dx° On voit par ces formules quels sont les termes qu’il faut ajouter aux quanütés aM et aN pour avoir la vraie valeur de l'intégrale f Fdx. Ces termes forment en général une suite infinie qui ne peut se terminer d'elle-même que dans quelques cas particuliers, par exemple, lorsque F sera une fonction entière de x. Mais dans toës les cas on obtiendra tel degré d’approximation qu’on voudra, en prenant & suflisamment petit, ce qui permettra de réduire à un ou deux termes au plus, la correction qui doit être ajoutée à la valeur calculée de 4M ou de aN. Au reste, pour diriger convenablement le calcul, il y a différens cas à examiner.

59. 1°. Si la quantité = —— D qui dépend des deux limites de l’inté-

grale, n’est pas nulle, ce qui est b cas le moins favorable, on pourra, dFo dx voir quelle doit être à peu près la valeur de & pour que le terme

# /d'F d'F . x 2 © So; TS — 7) appartienne à l’ordre de décimales qu’on veut négliger.

déterminée dans ces mêmes limites,

dF d’après la valeur de a —

Cette valeur de w fera connaître celle du nombre entier n=° qui règle le

nombre des termes à calculer des. suites représentées par &M ou par aN. Ensuite on aura avec le nombre de décimales désiré la valeur de [Fdx, soit par l'expression / Fdx = aM — = (À — 7): soit par l'expression... {dE __ dFo fFèt = +7 TEE a) 2° Si dans l'hypothèse du cas précédent, on veut admettre les deux cast lermes de la correction, il faudra prendre & et par suite l'en

SO ÉE Fo

302! Eat (as — — T5) apparbenne à l'ordre de décimales qu’on veut négliger. Alors on déterminera /Fdx avec ce degré d’approximation par l’une où l’autre des formules

SEde = aM — LR — DE) + 2 (9 — LES),

tier n = —, de telle sorte que le troisième Lerme

720 \dx! dx’ (5).

nn # (dE dE 7 pes TFN\) SFdx = aN + 2% dE &)— 5560\de de

On peut aussi de ces deux formules en déduire une Le savoir : a tt dE d'Fo , ffdx= 3 (N+M)— 55 Te — gr), (6)

dans laquelle la correction n’est que d’un seul terme; cette formule s’obtiendrait directement en considérant les nr trapèzes dont l'aire f Fdx est composée, comme étant terminés chacun par un ‘arc de parabole; mais le calcul de cette formule serait plus long que celui de Pune des formules (5).

3°. Si les deux limites de l'intégrale sont telles qu’on ait TR — = 0, alors les formules se simplifient, puisque la partie principale de la correcüon disparaît, et il devieut d'autant plus facile de ealculer avec un degré d’approximation déterminé l'intégrale / Fdx, au moyen de l’'uue ou l’autre des formules

dF - dFo - 5 dE dFo fEde = aM+ À (7 Lan 2 T2

(7) : a qat.sd'E __ Fo , Ga dE Fo SFdx = aN — 5760 ds T7) 15680 \ dx dr" 4°. 11 y a enfin un cas qui est susceptible de la solution la plus simple et la plus exacte, mais qui offre une sorte de paradoxe analytique assez difficile à expliquer : nous allons l’examiner avec tout le soin qu'il mérite daos le paragraphe suivant.

578 APPENDICE, $ I. Examen d'un cas particulier fort remarquable.

60. Ce cas est celui où les coefliciens différentiels de degré impair dE d'F #F dx? de? dé?

Par exemple, si on avait F(x)=(1—c* sin° x)*, À étant un exposant quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif, et © étant < 1, il est visible que les coefliciens dont il s’agit seraient tous nuls pour les limites T=0,L—= ?:#; parce qu'ils sont tous affectés du facteur sin x cos x et qu'aucun d’eux ne peut devenir infini. Dans ce cas particulier les formules (4) donnent fFdx = aM et fFdx=aN, d'où l’on devrait conclure que non-seulement les quantités aM et aN sont égales entre elles, mais qu’elles sont Pune et Pautre indépendantes du nombre entier #7 qui désigne le nombre de termes des séries dont aM et aN représentent les sommes. |

Cette conclusion est tout-à-fait inadmissible; car indépendamment des considérations générales qui doivent la faire rejeter, l’application de l'exemple précédent aux deux valeurs particulières k=2, k=— }, donnerait pour les fonctions complètes E'c, F'e, des valeurs de la forme

“À; =B, où À et B seraient déterminables algébriquement ; résultat entie-

etc., s’anéantiraient tous dans les deux hmites x=0,2e==4.

rement contraire à la nature connue de ces transcendantes.

Il faut donc avouer que le calcul nous induit ici en erreur, et qu’on ne voit guère par quels moyens il pourrait être redressé. Voici cependant une manière d’expliquer cette espèce de paradoxe.

Gr. Supposons qu’au lieu de chercher l'intégrale fFdx depuis x=0 jusqu’à x = 4, on veuille seulement la déterminer depuis x=0 jusqu’à x=a—a, « étant une quantité asez petite pour que æFa puisse être néghgé par rapport à l’intégrale / Fdx. Alors on pourra regarder l'intégrale dont la limite est x = a — æ, comme sensiblement égale à l’intégrale dont la limite est x = a.

Mais, lorsque la limiteest a — æ au lieu de 4, les coëfficiens différentiels dE Œ®F F & ? dd dé’ € d’abord très petits et presque nuls, lorsque la différence est d’un degré peu élevé; ils augmentent ensuite très rapidement selon la uature de la fonction F; car, par exemple, si on excepte le seul cas où l’exposant "3 est un entier positif, les coefficiens diférentiels de la simple puissance x” forment

Le., ne s’anéantissent plus pour cette limite; ils sont

SECTION H. 57% la suite :

mx", m(m—)3) ax", m(m—)) (Gu—2) a, etc.,

où l’on voit qu'à compter du terme où l’exposant de x devient négatif, les coëfliciens suivans augmentent dans un rapport qui surpasse bientôt tont nombre donné.

Cela posé, la valeur de f Fdx'étant représentée par la formule

fFdx=(a—e)M— Ÿ H E+SH D — ete.

on voit que la série qui sert de correction à la première valeur (a —«æ)M, sera convergente dans ses premiers termes qui seront d’abord très petits, mais qu’ensuite l’augmentation progressive des coefliciens différentiels agira en sens contraire de la diminution opérée par les facteurs décroissans 2H, SH, etc., et qu’enfin il y aura un terme où la série deviendrait divergente. bi

Avant d'atteindre ce terme, la partie de la série

d 6 “nt+sns-ndre qui est convergente, servira à corriger la quantité (a — æ)M, et la correction sera de plus en plus petite, à mesure que « sera plus petit ou x plus grand. On rentre ainsi dans l'effet ordinaire de la formule générale d’approximation, qui est de donner un résultat d’autant plus exact qu’on aura divisé la base a en un plus grand nombre de parties.

62. Le calcul que nous venons d’indiquer dans l'hypothèse que l’on prenne æ—a à la place de a, n’est utile que pour Pexplication que nous voulions en tirer, et il n’y aura jamais lien à exécuter. Nous en conclurons seulement qu'ayant choisi une valeur de n à volonté, d’après laquelle on calculera les quantités 4aM et aN, l'intégrale f Fdx prise entre les limites æ=0,x= 4, sera donnée avec à peu près le même degré d’approximation par l’une ou. par l’autre de ces deux quantités. Qn ne peut fixer a priori ce degré d’approximation, mais on peut assurer qu’il augmentera de plus en plus, à mesure que » sera plus grand. Nous donnerons bientôt un exemple dans lequel on verra qu’en doublant la valeur de #, on double le nombre des décimales ou plutôt le nombre des chiffres significatifs exacts du résultat. C'est ce qu on peut démontrer en général pour l'intégrale J'dx(r — c* sin* x}, prise depuis x=0 jusqu’à x == 7, dans la supposition que c est << 1.

580 APPENDICE, 63. En eflet, on peut supposer

(1— c* sin x) = A, A, RENE T à cos Ér-L- à À, cos 6 & etc,

les coefliciens A,, À,, À,, etc. étant des fonctions de c et de Æ qu'il est facile d'exprimer en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de c*. D’après ce développement, l'intégrale fdx (1 —c* sin° x)!, prise depuis x = 0 jusqu'à X=2?7, a pour valeur exacte À,.+7. Voyons jusqu’à quel point on approche de celte valeur par la formule suivante où l’on doit

faire © = = et F(x)={(1 — c* sin*x)';

TN=o[Fio+Fio+Eée..+ EF" 0].

D'après la formule précédente, on a

Fiw—=A,<+2A,cos © + 2A,cos 2® + 2A,cos 3 —etc., Fio= A,—+ 2A, cos 3w + 2A, cos 6w + 2A, cos gw<+ etc., F£œ—= A, 2A, cos 5w + 2A, cos 100 + 2A, cos 15w + etc.,

etc. : -

Continuant ces séries jusqu’à la 7°” qui représente F(=— œ), et faisant.

la somme de toutes, on aura

2N = © [ Aon + 2A, cos w + 2A, fcos 20 + 2A,/f cos 3w+-etc.],

expression dans laquelle /’cos w représente la somme ços & #- cos 3w + cos 54 jusqu’au 7°” terme inclusivement + cos (22— 1)w; de même f'cos 2% représente une somme semblable dans laquelle on met 2 à la place de æ , et ainsi à l'infini. Maintenant il résulte des formules connues pour la somme des cosinus d’arcs en progression arithmétique (Zntrod. in Anal., ns. Donc tant que m n'est pas égal à 27 ou à un multiple de 2n, on a /cos mw — 0; mais si

art. 260), qu’on a en général /'cos mw =

sin (2nmw) 2 sin (mr ) ?

téur êt le dénominateur s'évanouissent dans ce: cas, aura pour valeur 2nm c0$ (2m) n cos mx 2m cos (me) “cos me

on a = ain, £ étant un entier, la fraction

dont le vuméra-

= n cos x. Donc, on aura en général

(8) TN= [A2 aÂu — aAu + etc],

SECTION II. 58t

on trouverait, par la même méthode, D 2M= T[A. +24, + 244 + 2A8 + etc.]. (9)

64. Ces formules font voir que la correction qu’il faut ajouter à l'intégrale

approchée = M pour avoir l'intégrale exacte © A., est

— TA sn + À ju + Âça + etc.) ;

et parce que le coeflicient A, comparé aux puissances décroissantes c*, c#, cf, etc., est en général de l’ordre c*, la correetion précédente sera censée de l'ordre c{*.

Q : LE ° “ LU s L J “ De même la correction qu'il faut appliquer à l'intégrale approchée = N

. . , LS pour avoir l'intégrale exacte 3; A, est

HT(A,, — An + A6 —etc.); elle est donc aussi de l’ordre c#* ; et on peut considérer ces deux corrections comme sensiblement égales et de’signes contraires.

65. Lorsqu’après avoir calculé ‘les quantités M ét N pour un nombre de termes #, on les calcule de nouveau pour un nombre de termes 2#, si on désigne ces dernières valeurs par M’ et N', il est aisé de voir qu’on aura M'= (M +N). D'ailleurs il suflit demettre 22 à la place de #, dans l’expression des corrections précédentes pour avoir celles qui doivent être appli-

quées aux intégrales approchées =M, = N. Ainsi la correction qui est de l’ordre c{* pour les résultats TM, = N, sera de l’ordre c** pour les résultats =M, TN'; c'est-à-dire que le nombre de chiffres significatifs que les valéurs approchées ont de communs avec la valeur exacte 7 A., devient à peu près

double, quand on double le nombre des termes compris dans les séries MetN.

66. Pour donner un éxemple de ces formules, nous les appliquerons au calcul des fonctions complètes E'c, F'c, en supposant le module c—0, 6, ce qui donne = 0.8. :

Il faudra d’abord chercher par les méthodes propres aux fonctions elliptiques, les valeurs de ces fonctions, afin de les comparer à celles que donnera le calcul des quantités M et N pour diverses valeurs du nombre des termes

n. Or le module étant c—0, 6, on trouvera d’abord l'échelle des modules et le cueflicient K exprimés logarithmiquement comme il suit :

Cu... 9.77815 12503 83604 c... 9.045795 74905 60675 c°... 749214 85:70 00158 c®,, 4.582235 87370 32444 0 , 8.106241 74827 38188

La valeur de K donne F'e = = K ; ainsi la fonction F'e est égale au quart de

la circonférence dont le rayon K=1.11456 44874 839014. On. déduira de ces mêmes élémens et des formules connues

log E'c=0.15170 17715 26836; ainsi faisant Evc= = 1, c’est-à-dire supposant que la circonférence de lellipse est égale à celle du cercle dont le rayon est 1, on aura log 1 = 9.095558 18944 96683, LÆ= 0.990277 99277 72195.

Ces calculs ont été faits avec les précautions mécessaires pour que les valeurs de I et de K fussent exactes jusqu’à la quatorzième décimale au moins.

Voyons maintenant ce qui résultera da calcul des séries M et N, lorsqu'on suppose À=+?, pour avoir la valeur de E'c, et # = — + pour avoir la valeur

de F'e, 67. L’ordunnée appelée précédemment F ou F(x) est y/(1 —c*sin*x) ou

A(x) dans Je premier cas et 36) dans le second; ainsi nous avons d’abord F . | . 7

à calculer les valeurs de Ax qui répondent aux valeurs successives x — =

ee m? an ° +(4o + Air) ou {1 + b), sont les 7 termes dont la somme divisée par »

sera la valeur de M pour l'intégrale /Adx = E'c; leurs inverses n et la

(l nn —— ] ° .

, Gr Ces ordonnées et la demi-somme des extrêmes

1, A t\- ; demi-somme des extrêmes AC + 5) sont pareillement les #7 termes dont la

somime divisée par # sera la valeur de M pour lintégrale [5 = F'e.

Euñn les valeurs =, + Fe ., Se serviront à former les va-

SECTION 11. 583 leurs de Ax et , dont la somme divisée par x sera la valeur de N pour les iutégrales fAdx et [= |

Voici un tableau qui contient les valeurs de ces quantités pour le cas &

Log Ax.

9.956090 69261 918584 | 0.90553 85138 137417 | 1.10431 52607 484655 | 9.92027 91076 321275 | o 83229 84917 602750 | 1.20149 20246 Rémi À 9.99700 41457 736114 | 6.099312 55287 485221 | 1.00692 20567 314798 314798

Là

lb 2

On peut remarquer que ss valeurs logarithmiques de A contenues dans ce tableau peuvent se vérifier assez facilement par le théorème de Côtes. En effet,

puisqu'on a A=y/(1— csinx) = /G —" + = cos ax) , Cette quan-

tité peut se mettre rs la {orme By/(a*+- 20 008 2x + 1), en faisant rs

s(1-+b) et a. Si ensuite on déhné à 2x da valeurs successives ? 8 + ;

Te » &tr préduit des quatre valeurs de À sera B* v{: Ù + la somme de leurs logarithmes sera ‘donc 4 log B+;log(1#+4), ou 4log B+ — (1 — at + 3a'f— etc.). Dans le cas de notre tableau où l'on a = 0,8,

B=— 0.9; la quantité précédente. se: réduit à: 9:81697 00428 017543, 0e qui est en eflet la somme des quatre an qui répondent aux valeurs supposées de x.

68. Avant de faire n — 4, valeur pour laquelle le tableau est calculé, faisons 7=—=2, valeur trop petite pour donrier un résultat suflisamment approché, mais qui ferd voir le progrès de lapproximation gn-passant de cette première valeur à une valeur double. Alors les quantités Met N nécessaires

pour calculer les valeurs fAdx =17M, fAdx=— :#N, seront composées

de deux termes seulement, savoir :

=iG(Gi+é)+air], N=}(Air+ air).

Substituant les valeurs numériques données dans le tableau, et la valeur 1(1+6)=0.0, on aura M = 0.90276 92569 0687085, N = 0.90279 05975 482753.

Ces valeurs ne diffèrent que de 2 unités décimales du 5°* ordre, et le milieu entr’elles donne pour 1 la valeur approchée

1 = 0.90277 99272 275753, laquelle n’est en erreur que de 5 unités décimales du 10®* ordre. On a peine à concevoir comment le calcul de deux seuls trapèzes, fait de deux manières

différentes , peut donner un résultat si exact. Faisons maintepant 7 = 4; et appelons M’ et N/ les nouvelles valeurs de

M et N, nous aurons M'= } Bd 37 + Ar |, NRA 7 + A Er + A ZT], La première quantité est la même chose que la moyenne +(M + N), dont nous venons de donner la valeur, la seconde se trouvera par les quatre dernières lignes du tableau, de sorte qu’on aura M' = 0.90277 99272 275753, N' = 0.090277 99283 168144.

Ces deux valeurs ne diffèrent que d’une unité décimale du 9"* ordre, et le milieu entr ’elles donne pour I la valeur plus approchée

1=0. 00277 99277 7219385, laquelle s’accorde parfaitement avec celle qu’on a déduite de la théorie des fonctions elliptiques ; car la différence de ces valeurs n’étant que d’une unité décimale du ,55"* ordre ; on ne peut prononcer de quel côté est l’erreur.

69. Par des calculs semblables, appliqués à la fonction complète. . . ...

dx : f ici .

F'c= } —,on trouvera d’abord pour le cas de #7 = 2, les formules

BED ui N=; GE sai)

d’ où résulte

SECTION If. 585

M = 1,11465 96303 5423275, N = 1.114479 15649 8853855; ensuite pour le cas de n= 4, on aura | M' = 1.11456 440976 8138565, N'= 1.111456 44772 86422325.

Par un milieu pris entre ces deux derniers résultats, on aura la valeur approchée K = 1.11456 44874 839040, laquelle s'accorde suflisamment avec celle que donne la théorie des fonctions elliptiques, puisque la différence est à peine de 3 unités décimales du 15®° ordre.

Si quelque chose peut étonner dans le résultat de ces calculs, c’est qu’on puisse obtenir une si grande approximation avec une valeur de nr aussi petite que n = 4, c’est-à-dire en divisant l’espace qu’il faut quarrer en quatre tra pèzes seulement , et évaluant ces trapèzes de deux manières différentes. |

En calculant, comme nous l’avons fait, les valeurs de M et N pour le cas de ñn—4, on trouve que pour l'intégrale /Adzx ces deux valeurs ne diffèrent que d’une unité dans le g"* ordre de décimales, ce qui doit faire présumer que la moyenne entr’elles sera exacte jusqu’à la 17"° décimale, chose que nous n’avons pu vérifier, parce que les calculs du tableau ne sont exacts que jusqu’à la 15°* décimale au plus. L’approximation est un peu moindre pour

l'intégrale / %; car les valeurs de M et N calculées en supposant 7 = 4, dif-

férent entr’elles de deux unités décimales du 8%*° ordre, d’où l’on doit conclure que la moyenne ne sera exacte que jusqu’au 15*° ordre,

70. Au reste, on peut s’en tenir à ne calculer qu’une seule des quantités M et N, sauf à lui appliquer la correction dont nous avons donné la formule art. 64, en la réduisant à son premier terme. Or, ce premier terme Æ 2A,, se trouvera toujours avec une exactitude suflisante par la formule de l’art. 17.

Pour cela il faut réduire le binome 1 —c* sin* x à la forme....,... B* (1 + a*— 24 cos 2x), ce qui se fera en prenant B=—1{1+ 8), et...

a=— (— ; on aura donc (1—c"sinx) = HS" 1—a"—2ac052x ).

Développant ensuite les deux membres par les formules des art. 1 et 63, on aura entre les coefliciens d’un même cosinus l'équation générale A, =

(: + +) P(A,— 4). Prenant les logarithmes de chaque membre et mettant

586 APPENDICE, | au lieu de log P(A, — #) sa valeur donnée par la formule (17), on aura

log A, = Aloga—(k—+ 1)log À + klog à — log T(— Æ) 10 | (CE + E) m (Æ + E) ma’ (ro) FSC) aan

Quant au signe du coefficient À, il sera le mème que celui de la quantité & T(—À).

71. Appliquons cette formule à la détermination de la fonction complète

E'c=fdxy/(1 —c* sin x); cette quantité étant représentée par = A, , nous avons déjà trouvé pour À, lf valeur approchée. M=0.90276 92569,

laquelle résulte de la supposition 7 — 2, et nous avons fait voir (art. 64) que la correction à appliquer à cette ér est—2A,, où — 2 À, Faisant on trouvera par la formule os log A,=4.7271088 ; et parce que at T(—+) est négatif, il faudra que A, soit négatif; on aura donc À, = — 6.00000 53347, ce qui donne la valeur corrigée |

valeur qui n’est en erreur que d’une unité décimale du 9° ordre. C'est déjà un assez grand degré d’approximation obtenu en divisant en deux parties égales seulement la-base + 7 de l’espace qu’il faut quarrer, et mesurant les deux trapèzes curvilignes qui en résultent comme s'ils étaient rec tilignes. On conçoit dès lors qu’une approximation beaucoup plus grande résultera de la supposition #= 4, laquelle donne

La correction qu’il faut appliquer à cette valeur étant toujours représentée par —2A,,, On la calculera par la formule précédente, en faisant A =8, et conservant les autres valeurs de b, a, # et T(—x). IL réel. tera "Lo A:—=0.4305944, d’où A;=—0.00000 00002 7230%4, et la valeur corrigée

- - M—2A,—0.90277 90277 721881; : —=v valeur qui ne diffère de la véritable que d’une demi-unité décimale du quatorzième rang.

72. Si on veut appliquer de semblables corrections aux valeurs de M déjà

SECTION NH. 587

trouvées pour la fonction complète F'e=— f'dx lie sin x, il faudra faireb—= 0.8, a—=—%5,k=—;,T(—K)=y7r.

La première valeur de M calculée pour le cas de n=32, est M=1.11465 76304 ; faisant donc A=2n= 4, on aura par la formule précédente log A,=5.668038 1: ; et puisque a T {(—Æ) est positif, A, le sera aussi, et on aura A,= 0.00004 65627 ,. ce qui donne la valeur corrigée

M—2A,,—= 1.11456 4505, laquelle n’est en erreur que de 2 unités décimales du 8° ordre. La seconde valeur trouvée pour M, savoir :

suppose #=—=4; dans ce cas, la correction 24,,= 0.00000 00105 973579, et la valeur corrigée

M—2A,,=1.11456 44874 84006, laquelle n’est en erreur que d’une unité décimale du 13° ordre.

73. On voit, par ces exemples, que l'effet de la correction est non-seulement de déterminer le nombre de décimales exactes qui se trouvent dans la valeur de M ou dans celle de N, mais encore d’en ajouter cinq ou six de plus, ce qui donnera un résultat aussi exact qu’on voudra, en prenant une valeur convenable de n. Quand on calcule à la fois les deux quantités M et N,le milieu pris entre elles approche plus da vrai résultat que l’une des deux augmentée ou diminuée de la correction, mais cet avantage ne s’obtient que par un calcul plus long.

74. On trouve dans les Œuvres de Jean Bernoulli (*} un théorème pour calculer par approximation le rayon du cercle égal en circonférence à une ellipse donnée. Ce thévrème-fort remarquable conduit aux mêmes valeurs de M et N que donnent les précédentes formules, en prenant pour #un terme de la progression 2, 4,8, 16, etc., ce qui permet de déterminer géométriquement toutes les quantités ÿ/(1-c* sin* x) dont se composent les valeurs de Met N..

Jean Bernoulli n’a point donné la démonstration de son théorème ; il a - indiqué seulement la construction géométrique qui en est la base et par laquelle on peut obtenir la valeur très approchée de la circonférence de

(*) Joh. Bernoulli Opera. Tom. 1, pag. #47.

PL III, fig. A.

. « dp

toute courbe ovale, partagée comme lellipse, en quatre parties égales et semblables par deux axes rectangulaires. Cette construction s'exécute au moyen d’un mouvement continu que Pauteur appelle motus reptorius, et dont il détaille les propriétés.

Nous avions pensé d’abord à donner ici l'analyse du théorème de Jean Bernoulli, considéré dans sa plus grande généralité ; mais nous avons bientôt reconnu que cetle analyse deviendrait inutile, parce que le résultat auquel elle conduit n’est qu'un cas particulier d’une proposition générale qui sera démontrée ci-après d’une manière beaucoup plus simple.

$ IL. Moyen d'exprimer toute intégrale proposée par un arc de courbe.

75. Soit s la longueur de l’arc de courbe AM dont l’origine est fixée au point À et dont l’extrémité M est déterminée par les coordonnées CP=x, PM=7. Cet arc, dont l’expression ordinaire est Sdrv( + a), peut êtreexprimé par une autre formule qui jouit de quelques avantages particuliers et que nous allons faire connaitre.

Si du point C, centre des coordonnées, on mène CZ perpendiculaire sur la tangente au point M, et qu’on prenne pour nouvelles variables CZ = p et l’angle TMP=y, on aura l’angle PCZ= et CZ=p=CM cos (u—MCP); ‘ développant le second membre et mettant au lieu de CM cos MCP et CM sin MCP leurs valeurs x et y, on aura

p= x cos +7 sin u.

Différenciant cette équation et observant qu’on a dx =— ds sin w et dy = ds cos p, il viendra

da =] COS H— x sin pe.

‘ Au moyen de ces équations, on obtient les valeurs de x et y exprimées en

fonctions de p et de w, savoir :

z=p cos pu — Ÿ sin p,

| : (11) SF =P sin W + 7, cos pe.

Enfin, de celles-ci on tiredx = —dusin u(p+ Te ) dy=dp cosu(p-+ ;

donc ds = du (+52) , et en intégrant

s = fpdp + À + const. (12)

C’est l'expression de l'arc s dans laquelle il faudra substituer la valeur de p en fonction de y. | 76. Cette valeur peut se déduire de l'équation oi entre les coordon-

nées xet y, combinée avec équation différentielle Ÿ 3 —=— cot«, dont le

premier membre est une fonction connue de x et y. En effet, on peut supposer que ces équations donnent les valeurs de x et y exprimées en fonction de tang w ; ensuite l'équation p=x.c0s + 7 sin p fera connaitre la valeur de p en fonction de sin x et cos ue.

On peut remarquer que si l'équation entre x et y est algébrique, l’équation entre p, sin g et cos ke, sera pareillement algébrique ; mais en général, quelle que soit-cette équation , si on prend l'intégrale /pdu de manière

, x , dpo . d ,

qu’elle s’évanouisse au point A, et que + F soit. la valeur de en ce même dpo point, on aura l’arc AM ou s —/pdu +% = Ar “a

77. Cette même formule servira à exprimer toute intégrale proposée par un arc de courbe.

En effet, on peut supposer que cette intégrale est mise sous la forme fpdu, dans laquelle p représente un arc de cercle indéfini dont le rayon =1,et p une fonction de l’arc &, ou seulement des lignes trigonométriques sin & et cos 4. On aura donc l'intégrale cherchée

Jpdp=s—E + À. (13)

Quant à la courbe AMB qui correspond à cette équation, elle est facile à décrire au moyen des équations (11) dont les seconds membres sont des fonctions connues de l'angle g ou des lignes trigonométriques qui dépendent de cet angle; et si on élimine g de ces deux équations, on aura, sous la forme ordinaire, l’équation entre les coordonnées x et y de la courbe dont un arc compris entre des limites données servira à exprimer l’intégrale /pdu. 11 faut maintenant montrer dans quelques exemples l'usage de celte théorie.

78. Exemple I. Soit proposée l'intégrale Z — fdu y/(1—c* sin w), que nous avons coutume d’exprimer par larc d’ellipse E(c, #) compté de l'extrémité du petit axe. |

Nous aurons daus ce cas, p= V/(1—c* sin ), valeur qui étant sub-

située dans les équations (11), donne en faisant = y/{(1 — c*), T. II. 93

PL. 1, fig. 1.

x= *#, =. Si on élimine de ces deux équations, on en déduira y*=&b* (1—x*), c’est l'équation de l'ellipse rapportée à son grand axe. Ainsi en faisant CA = 1, CB—6, et décrivant sur ces deux demi-axes lellipse AMB, si on désigne par s l'arc AM compté de l’extrémité du grand axe où w = 0 jusqu’au point M dont les coordonnées sont x et, cet arc servira à exprimer l'intégrale Z, de sorte qu’on aura Z ou

d 2si Ec,p)=s— Es + eee (14)

Cette équation n’est autre chose que le théorème de Fagnani que nous avons donné tom. I, art. 56. En effet, si on détermine l’arc BN compté de l'extrémité du petit axe, par les coordonnées CQ = sin w, NQ = bcosu, en

cos pe

même temps que l’arc AM l’est par les coordonnées CP mn CT TL

PM= TE on aura, en vertu de ce théorème, res c'sin #COSys .

BN= AM+ VC — ce sin°s)" Ainsi l'application de notre formule conduit dans ce cas à un théorème connu.

79- Exemple IT. Cherchons maintenant la courbe qui par ses arcs peut du

servir à exprimer l'intégrale Z = /f TG =) intégrale que nous avons coutume de représenter par F(c,w).

IL fant faire dans ce cas p=(r — €" sin° #)”*, ce qui donnera les valeurs suivantes des coordonnées x et y :

cos # bs

(a — c'sin° )s

+. c'cos 24),

rs = ——"#% (1 + 0 cos 2m).

(a —c* sin) Cette courbe qui appartient au sixième degré et dont la forme se rapproche de celle de lellipse, tant qu’on a c*<+, est la même que nous avons déterminée d’une autre mauière dans la théorie des fonctions elliptiques, chap. VIl; elle donne Z ou c* sin {4 COS

Fo,u)=s—— LL:

(c,#) : (1 — ç*sin*s)*

et la fonction complète F'ce=—s", s' étant le quart de la courbe compris depuis = 0 jusqu’à m — 7.

Le cas de c* = + est généralement résolu, comme on sait, par la lemniscate qui n’est que du quatrième degré, et dont les arcs expriment directement la fonction F sans addition d’aucune quantité algébrique. La solution du même cas déduite de la formule précédente donne une courbe du sixième degré dont l’équation est = c(2 + x?) ÿ/(1— x), ou J'=2—jatins. Cette courbe est moins simple que la lemniscate, mais elle a l'avantage d’avoir une figure peu différente de celle de lellipse.

86. Il est très remarquable que notre nouvelle formule conduise si facilement à la solution d’un problème que nous avons regardé comme fort diffcile, et qui paraît n’admettré aucune autre solution; celui de trouver une courbe algébrique dont les ares représentent généralement la fonction elliptique de première espèce F(c ;#).

En général on voit que toutes les fois que p sera une fonction algébrique de sio x et cos pe, la courbe dont les arcs servent à exprimer l'intégrale fpdy, sera aussi une courbe algébrique. Ainsi la quadrature d’une courbe algébrique peut toujours se réduire à la rectification d’une autre courbe algébrique, proposition dont l'inverse seulement était connue.

81. Exemple III. Soit proposé de trouver la courbe algébrique dont les arcs représentent la fonction elliptique de troisième espèce I(7, c, uw) =

frotter (rt + nsin*y) (1 — csin#)"

Il suffira de faire p= (1 + n sin* w)* (1 — c*sin* w) *, et la substitution de cette valeur dans les équations (11) donnera les valeurs suivantes des coordonnées de cette courbe, où l’on a fait y/(1 —c*sin*u) = 4.

LÉ CET TS [r + (5n — 20°) sinu — fon sintu], 1 = bon Le het — an (5m — 1) (1e) sinu— fornsinépe] On aura ensuite pour la fonetion H'cette expression - 2n siD COS c'sin pm cos pe Te, 29) ETAT A (: + nsin'x) 43?

et si s' représente le quart de la courbe compris depuis #—0o jusqu’à u—;7, On aura la fonction complète Il'(n#, c) = 5". On trouverait de la même manière la courbe algébrique dont les arcs ser-

viraient à exprimer, dans le cas des paramètres imaginaires, la double fonction de troisième espèce.

A+Bsin°s. dye 2 24€ cos # sin° ye + C° sint ps” CRT TS w)° 82. Exemple IF. Soit p= a sin pe tang* p, on aura x= 24 tang* pe, J=3atang'u ets = = — 24.

On déduit de ces valeurs l’équation ax*=— #, y ; ainsi la courbe dont il

s’agit est la seconde parabole cubique.

ab sin s cos

83. Exemple V. Soit p= a cosu+ bsin pe — Trans e)? on aura, en supposant 4° = b*+c*, ab sin y T=Aa— DAC ES (a*— c* sin°w)" Ft nids.

TT) (a*—c* sin°w)*

Et]

D’après les valeurs de x et de y, on trouve que l’équation de la courbe peut être mise sous la forme (x — + (1 —? =: , et alors on voit que cette courbe est la développée de l’ellipse.

84. En général, si on prend la valeur de p telle qu’on puisse obtenir algébriquement l'intégrale /pdu, l'arc s dont cette intégrale dépend, s’exprimera aussi algébriquement. On produira ainsi une classe infinie de courbes rectifiables, comme sont toutes les développées des courbes algébriques.

Soit alors /pdu = gq, ou p = % on aura pour décrire l’une quelconque

de ces courbes, les équations — 4 Ta à = 7, CS M— 7% Sin We, ae J = 2 sin p-+ 4 cos pe, et la longueur d’un de ses arcs sera donnée par la formule s=+ + const.

85. On voit, par ce qui précède, que toute quadrature proposée se ré-

SECTION Il. 595

duit à la rectification d’un arc de courbe compris entre deux points dounés, ce qui peut contribuer à simplifier la construction géométrique d’un grand nombre de problèmes; car en général on peut obtenir plus facilement uñe première valeur approchée d’un arc de courbe dont on a l'équation que celle d’une quadrature. Mais s’il s’agit de calculer avec beaucoup de précision la longueur d’un arc de courbe proposé, il conviendra de revenir aux formules du $ 1, pour déterminer Parc s par le moyen de l'intégrale /pdy. C’est ce que nous allons développer dans le $ suivant.

$ IV. Formules pour calculer avec précision la longueur de tout arc de courbe proposé.

86. Soit comme ci-dessus, l’arc AM=s, la perpendiculaire CZ abaissée du point fixe C sur la tangente en M =p, l'angle TMP que fait la tangente avec l’ordonnée MP, =; on pourra regarder p comme une fonction connue de l’angle & ou des lignes trigonométriques qui déterminent l'angle H et faire en conséquence p= F(y). Cela posé, on aura la longueur cherchée

d, s=Jpdu + —

Pintégrale /pdu étant prise de manière qu’elle s’évanouisse au point A.

Cette formule se simplifie en supposant que l’axe des abscisses CP, qu’on peut prendre arbitrairement , se confond avec la perpendiculaire à la courbe menée par le point À, car alors on aura dans ce point H=0o, et Po, ce qui donnera s = f pdu + 2

Maintenant, pour avoir la longueur totale AMB = 5", il faut prendre l'intégrale fpdw depuis le point À où nous supposons #—o jusqu’au point B où nous supposerons w = 8. C’est ce qu’on peut faire au moyen des formules du $ 1; elles donnent d’abord, en prenant le nombre entier n à volonté, les valeurs approchées /pdu=— 0M, fpdu =86N, dans lesquelles M est la moyenne entre les n quantités suivantes :

2(Fo + F8), F:, Fa. P— 6;

et N'est la moyenne entre les ñn quantités

an? an ?

Fe ;.:: ET 2n

Fig. A.

Fig. B.

On aura ensuite des valeurs plus exactes de l'intégrale /pdu en apphquant les corrections nécessaires aux quantités ÔM et 6N.

87. Mais il faut avant tout examiner le cas particulier où nous avons déjà fait observer que le calcul n'indique aucune correction , ce qui ne veut pas dire que la correction est nulle , mais que les quantités 8M et 8N approchent beaucoup de la vraie valeur de l’intégrale fpdu; qu’elles en approchent à peu près également l’une en plus, l’autre en moins; que le milieu pris entre ces deux quantités donnera environ deux fois plus de chiffres significatifs exacts que l’une des deux séparément; qu’enfin, après l'essai fait sur des valeurs assez petites de 7, qui feront voir combien de décimales exactes on tire, soit des valeurs ÛM et 6N prises séparément, soit de leur moyenne :(8M-+ 8N), on sera à portée de juger quelle est définitivement la valeur qu’on doit donner à # pour obtenir tel degré d’ap-

proximation qu’on voudra. 3 A .,. dp dpo Dans ce même cas, les quantités Ja % de sont nulles, de sorte que

l'arc entier s' s’exprimera par l'ane des deux valeurs 8M et ON, ou plus exactement par le milieu pris entre elles.

88. Ces résultats s'appliquent immédiaternent à toutes les courbes ovales qui comme l’ellipse ont la propriété d’être partagées en quatre parties égales et semblables par deux axes rectangulaires, qui sont en même temps perpendiculaires à la courbe.

Alors, en faisant 8— 17, le quart d’une telle courbe sera exprimé par =M ou 2 N, en calculant M ou N d’après une valeur de # qui réponde

au degré d’approximation qu’on veut obtenir. Ainsi le calcul donne immédiatement par les quantités M ou N, le rayon du cercle égal en circonférence à la courbe proposée.

Il ne s’agit dans chaque cas que de chercher la fonction p ou Fp qui représente la perpendiculaire menée du centre sur la Langente au point où l’angle que fait cette tangente avec J’axe des ordonnées est w. Avec cette fonction Fu on formera les ñ quantités dont la moyenne désignée par M ou par N sera la valeur du rayon cherché.

Telle est la proposition générale dont nous avons parlé dans l’art. 74; elle comprend comme cas particuliers, non seulement le théorème de Jean Bernoulli sur la circonférence de l’ellipse, mais encore tous les théorèmes semblables qu’on pourrait déduire de la considération du motus reptorius de

cet auteur, appliquée aux courbes composées de quatre parties égales et comme lellipse; théorèmes qui sont limités par ce genre de construction au cas où # est une puissance de 2, mais qui, suivant notre proposition , auraient lieu également pour toute valeur du nombre entier 7.

89. Nous observerons encore que la fonction P(A, Æ), considérée dans la section 1, sous le nom de P(A, x), a pour expression générale. .... 2 " du cos 28 LÉ. , . . RER # Tres celte intégrale étant prise depuis 4=—=0 jusqu’à

cos 2 QG a°— 2a cos au)? °° COR struit une courbe qui par ses arcs serve à exprimer l'intégrale /pdu, cette courbe sera composée, comme l’ellipse, de quatre parties égales et semblables ;

mw= 7. Or, si d’après la valeur p=F(u) =

de sorte qu’on aura entre les limites assignées fpdu— = M ou /pdu — = N, etpar suite P(A, EM, ou P(à, Æ)=N, ou plus exactement P(A, = {M-EN).

Aünsi, la fonction P(A, Æ) dont nous avons développé les propriétés, se rapporte au cas le plus simple des quadratures, el sa détermination ne dépend que des quantités M et N, qu’on peut former immédiatement au moyen de la fonction p=F(u) et du nombre entier 7 pris arbitrairement.

Il en serait de même des coefliciens différentiels : pe , elc., qu’on détera minera semblablement après avoir mis chacun d’eux sous la forme : fpdp.

go. On peut remarquer enfin que le résultat trouvé pour les courbes ovales composées de quatre secteurs à angle droit, égaux entre eux et placés symétriquement autour des axes communs, s’étend à une infinité d’autres courbes composées d’un même secteur qui se répète un certain nombre de fois dans des positions alternatives. Soit 8 l'angle de ce secteur ; si 8 est commensurable avec l’angle droit, la courbe rentrera sur elle-même après une ou plusieurs révolutions autour du centre commun de tous les secteurs; mais si 6 n’est pas commensurable avec l’angle droit, la courbe fera une infinité de révolutions autour de son centre. Dans tous les cas, l’arc de courbe qui termine le secteur dont l'angle est 8, a pour valeur la quantité 8M ou 8N, c’est-à-dire, qu’il est égal en longueur à l’arc du secteur circulaire dont l’angle est 8 et qui a pour rayon la valeur de M ou de N donnée dans l’art 85. En vertu de cette observation, notre théorème se trouve appliqué à un système infini de courbes, dont les ovales, à quatre parties égales, ne sont qu’un cas particulier.

g1. Si nous revenons maintenant à la détermination générale de l’arc s' dont les limites s'étendent depuis = 0 jusqu’à #=—@, nous verrons qu'il suflit d’ajouter le terme æ à la valeur de fpdu où fFdu, donnée dans

l'art. 59. On aura donc pour cet objet les deux formules suivantes dans

lesquelles ==, «' dF PL dF Fo RE ES 720 M — 4) D in # dF et [d'F d'Fo s' = ON ++ du 7 5760 du 2)

Hg B. Ces formules se simplifient beaucoup, si l’on a —=0, c'est-à-dire, si le rayon vecteur CB est perpendiculaire sur la courbe, au point B, comme le rayon vecteur CA Pest au point A. Or, cette condition est toujours facile à remplir, parce qu’on peut prendre pour centre des coordonnées, l’intersection des deux perpendiculaires à l’arc AMB, menées par ses deux extrémités À et B. Alors on aura les valeurs corrigées

dF ŒFo "= M+ de dé)?

d'F d'Fo L

s" = ON — En as Fr”

lesquelles pourront être portées à tel degré d’exactitude qu’on voudra, en prenant & assez petit ou # assez grand pour que le terme suivant de Ja correction soit négligeable, |