A — ») QA+1) = ES AQU) — (A+) QA

(Ain) Qi) = ! + L (AH )QUA-HI)—(a-i-n)Q().

De là résultent deux valeurs FA Q0) exprimées, l'une par les deux termes P(A), P(A+4r1), l’autre par les deux termes P(A-— 1), P(A) ; ces valeurs

sont

(a+ n) (1 + a°) PO)— (a+ 1— 1) 24P(a+ 1) (25) Q(A) = n(1 a)

Qn— 1) 20 PQ) — (= ni)(1 +6P0).

QU) = La combinaison de ces deux formales en donne une troisième plus commode

dans la pratique, savoir :

9) = C ED an On) (a ant )PO+:) |

Dans le cas dem;, cette formule se smplfe et donne ce résultat remarquable ,

(5) Q0) = — 5) LPO — 1) —PR+1)].

20. Nous observerons que les équations (14) peuvent se mettre sous la forme suivante, plus commode pour le calcul numérique, Ordre RTE NN

QG) — QG + 1) = = 4) PO)H OH In) POI)

na)

SECTION 1. 547 Dans le cas de n=—+, ces formules se simplifient encore et deviennent QG) + QG + 1) = AS IPO) —P (+1), Q0) — QA + 1) = REP) + P (+1)

Le cas de n = } qui donne lieu à diverses simplifications, est celui qui s’applique spécialement au calcul des perturbations des planètes; il est susceptible d’être résoka complètement par les fonctions elliptiques.

21. En effet, si l’on suppose 9 = 7 — a4 et «= Es on aura.... D=(1+ a) (1—c sin* +), et les valeurs de P, et P,, données par la formule (1), seront

D = : ad} sl ous sr res

A 24.) cos 24 n=m—- envers sin* D?

or, par l’art. 207, tom. J, on trouve 2F'e (28) P. — & 2 F'e— (1 +ao)Ee za(i +a

Les fonctions complètes F'c, E'c sont rapportées au module c; mais il conviendra de les exprimer par er fonctions semblables rapportées au module c— a, puisqu'on a c = = Or par les formules de l’article déjà cité, on a |

F'e= (1<+e)Fe = (1 + a)F'a, E'c = (148 )E'c° — 8F'e =

: = E'a— (1—4a}F'a, valeurs qui, étant substituées dans les formules (28), donnent plus simplement

P, = Fe, :

BIA bI4

22. Nous rappellerons ici que pour calculer les quantités F'a, E'a, il faut d’abord former la suite décroissante 4, a°, a°°, a°*, etc., par la même loi que la suite des modules ©, c*, c**, etc. Faisant ensuite

548 APPENDICE, re = aV/a® a4/a°% K=——.——. D à

A - . etc., H = K (€ ue Te + ete. ),

on aura, suivant les formules démontrées dans le tome I,

F'a = °K, C 2 F a Li E'a = sK(1—$a") — 5H.

De là résultent ces valeurs très simples des deux premiers coefliciens

PS ET P K eo = ,

BP, = °(K+H); ensuite par l’équation (13) on trouve le troisième coefficient P, = 5 4P, + ;H.

Substituant ces valeurs dans les équations (21) et (22), on en déduira les valeurs suivantes des trois premiers coefliciens Q,, Q,, Q,, nécessaires au

développement de D'?, Q, = = e° (r — a“)?

Q. —K — H, 1Q+HiQ a +:

0 © I Îl

Ces formules sont disposées de manière à rendre le calcul numérique des premiers coefficiens aussi facile qu’il est possible. Nous en donnerons bientôt des exemples.

Les valeurs précédentes supposent que la différence 1 — a n’est pas très petite, e et dans cette hypothèse on n’aura jamais à calculer qu’un petit uombre de termes de la suite a, 4°, 4°”, etc., pour parvenir à des résultats aussi approchés qu’on voudra. Sil arrivait que 1 — a fût très petit, on ferait usage des formules (28), où 1—c est encore beaucoup plus petit que 1 —4a, et on substituerait dans ces formules les valeurs de F'cet E'c, calculées suivant les méthodes que prescrit pour ce cas la théorie des fonctions elliptiques.

23. Nous avons fait voir quels sont les procédés les plus simples pour cal-

culer les divers coefliciens P(A), Q(A), qui servent à développer les deux puissances consécutives D", D", Si on avait à développer un plus grand nombre de puissances successives, telles que D", D", D-®-s+, Ds, on commencerait par la puissance la plus élevée, et faisant 7 = m +3, on calculerait les coefliciens successifs P,, P,, P,, etc., qui répondent à cette valeur de n.

Connaissant le développement de D", il faudra en déduire successivement celui des puissances précédentes D"+:, D-*+*, etc. Pour cela il faut observer que si on a égard à la variabilité de n , la fonction PA) devient une fonction de deux variables et devra être désignée par P(A, n). Or les coefliciens P(A, #7 — 1) se déduisent des coefliciens P(A , 7) au moyen de la formule (19), qui peut être exprimée ainsi : |

(Go) PAyn—i)= DE pi, n)— PA 1, »)]. /

Cette formule ne ferait pas connaître la valeur de P(0, nr — 1); on y supplée par Péquation (11), qui donne

(31) P(o,n—1)=(1+ 2) P(o, n)— 2aP(1, n).

‘ Au moyen de ces deux formules on déterminera les coefliciens PA, nr — 1), en supposant connus les coefliciens P(A, n); on calculera de même les coefficiens P(A,72— 2), par le moyen des coefliciens P(A, 7 — 1), et ainsi en rétrogradant, jusqu’à ce qu’on ait les coefliciens de toutes les puissances de D dont on demande le développement.

Nous proposons de commencer par la puissance la plus haute, parce que les puissances inférieures se déduisent avec facilité des supérieures , au moyen des formules (30) et (31).

24. On pourra aussi, si on le juge à propos, suivre une marche inverse, c’est-à-dire calculer les coefliciens P{A, # + 1) par le moyen des coefliciens P(A, n) supposés connus. C’est ce qu’on exécutera par les formules (26), qui peuvent être mises sous cette forme :

P(A, ni )P(ar, na) CHE nn) GEL, n)

5 s (a-n)P(à, n}+(ah1=n)P(a+1, n) (32) P(à, n+1)—P(a+1, 21) Ua 2,

Il est visible que les mêmes formules serviront à déduire les coefliciens P(A, n + 2) des coefliciens P(A , # + 1); ainsi le développement connu de D" fera connaître le développement des puissances successives D", D", D", etc.

25. On a vu que deux transcendantes connues dans la suite P,, P,, P,, etc., suflisent pour déterminer toutes les autres représentées par P(A) ou P(à, n), et par conséquent pour avoir le développement complet de D". Ces deux mêmes transcendantes sufiront donc aussi pour déterminer tous les coefliciens représentés par P(A, #2 Æ #), et par conséquent pour avoir le développement de la puissance D"*", À étant un entier quelconque.

De plus, si l’on compare entr’elles les deux valeurs de A(A) ou A(A, n), données par les formules (18), on trouvera immédiatement

AA, n)=(1— a") A(X, 1 —n); d’où résulte la formule

P(a,n) on n.nHin+H2...n+a—i: (1 — ar.

P(a,1—n) 123 ne ee A ?

laquelle revient à l'équation (9). En vertu de ce théorème, on connaîtra Loujours exactement le rapport des deux fonctions P(A, x), P(A, 1 —n); de sorte que l’une peut être déterminée par l’autre. Ainsi le développement de D—'+* peut être déduit immédiatement du développement de D", et réciproquement.

Donc les deux transcendantes qui suflisent pour déterminer en général les diverses valeurs du coeflicient P(A, »), sufliront aussi pour déterminer toutes les valeurs du coeflicient P(A, 1—n), et par conséquent encore toutes celles du coeflicient P(A,ÆHk—n), À étant un nombre entier quelconque.

Combinant ce résultat avec celui qu'on a déjà trouvé, on voit que les deux transcendantes qui servent à former le développement complet de D", suflisent en même temps à former le développement tant de la puissance D" que de la puissance D"<+*, Æ étant un entier quelconque. $ IL. Applicgtion de la théorie précédente aux cas de n= + etn=#, où

lon montre l'usage des fonctions elliptiques pour faciliter-le calcul

numérique des coefficiens.

26. Exemple I. Soit a — 5, et soit proposé de développer les deux . RE | puissances D'*, D°*; le tableau suivant donne les valeurs des coefliciens successifs, jusqu’à ce qu'ils deviennent trop petits pour entrer dans le 10®* ordre de décimales. è

La)

Les termes de la seconde colonne ont été calculés par la formule (11), en faisant n= 2, et donnant à À les valeurs paires 0, 2, 4, 6, 8, 10; on en a déduit les termes intermédiaires par la formule de Part. 14. La seconde colonne étant ainsi formée, on s’en est servi pour calculer la première au moyen des formules (30) et (31). On connait donc par ce petit tableau,

* ® * LA =! = | le déveluppement des deux puissances consécutives D7*, D7*, pour le cas dea=:#;; de mapière que l’erreur de la série ne pourra jamais s’élever à une unité décimale du dixième ordre.

27. Exemple II. Soit a — +, et soit proposé de développer les deux

puissances D°7*, D'*.

On pourrait exécuter les calculs comme dans l’exemple précédent, parce que les suites tirées de la formule (11) seraient encore suflisamment convergentes; mais si on veut obtenir des résultats exacts jusqu’à la douzième décimale environ, on y parviendra plus promptement par les formules de l'art. 22.

En prenant pour module a = +=sin 2 la théorie des fonctions elliptiques donne les valeurs suivantes :

de là on déduit, par les formules de l’article cité, é

P(o, +) = 1.07318 20071 494 | P(o, #) — 1.89074 56177 305 P(r, +) = 0.277993 30989 634 | P(1, À) = 1.29025 00150 137 P(2, à) = 0.10549 44958 892 | P(2, +) = 0.779901 32218 970 On continuera le calcul des quantités P(a, 2) par la formule (22 — 1) PO SH 1, 5) = SAPQ,E) — (2x #1) P(a—i, 5), et on en déduira les valeurs de P(A, +) par la formule (30), ce qui donnera les séries de ces coefliciens, comme on les voit dans le tableau sui-

vant :

Lo)

28. On peut vérifier ces résultats en calculant les derniers termes Pr1,3), P(r2,3) par la formule (11), ou encore mieux par la valeur de P(à) que fournit l’équation (16), savoir : .

nn+H1...n7hA—1 n— 1] n as (Ce:

FU 1:2...À 1 ‘Ati 1—ai

3 TN 1.2 n. ILE 1.8 a (54) ms ts D px tete).

On trouvera de cette manière, en poussant l’approximation jusqu’à la treizième décimale,

L'erreur des résultats précédens ne se fait donc remarquer que dans le 11° ordre de décimales sur P(12, ?), et dans le 13"* seulement sur P(11, +). Elle pourrait être plus considérable, sans qu’il y eût une erreur d’une unité sur la dernière décimale des valeurs de P,, P,, P,, d’où l’on a déduit toutes les suivantes P,, P,, etc., parce que la formule (13) qui sert à faire ces calculs, a l'inconvénient, comme nous l’avons déjà remarqué, de faire croître les erreurs absolues suivant une progression à peu près géométrique

dont la raison est au moins 25 d’où il suit qu'après un nombre de termes

peu considérable, les résultats deviendraient entièrement défectueux. C’est au reste ce qu’on éviterail en suivant la route indiquée art. 16, mais les calculs seraient plus longs. .

En jetant un coup d’œil sur le tableau précédent, on voit que les deux séries tendent de plus en plus à se confondre avec une progression géométrique dont la raison est + ou a. On prévoit dès lors de quelle grandeur à peu près seraient des termes beaucoup plus éloignés, tels que P(ar, +), P(22, 2) ; ces termes se trouveront directement, et avec une approximation assez grande, par la formule (17) qui donne

On voit de cette manière jusqu’où il faut prolonger les deux suites, pour que les termes deviennent plus petits qu’une limite donnée.

29. Exemple III. Soit a= 0.72355325, et soit proposé de développer jusqu’à neuf ou dix termes les puissances D'i, Di,

On calculera d’abord , par la théorie des fonctions elliptiques, les modules décroissans 4, &, a*, etc., et leurs complémens à, b*, b®, etc.; ce qui donnera les logarithmes suivans :

Geosoe 9-85953 78587 0774 a .... 9-26264 53174 3980 a®,... 7.930060 24235 4992 a... 5.25916 06318 3109 a%,,, 7.092323 06436 2327

b...... 9.83916 37438 4132 &°..... 9.099259 6665 9680 Poe 9-90098 42237 9754

On voit que, quoique a soit assez près de l’unité, il ne faut cependant prolonger la suite des modules que jusqu’au quatrième terme, pour avoir

les quantités cherchées K et H nd ui og jusqu'à la quatorzième décimale.

Calculant en ellet ces quantités par les formules K = vw ( . be propres),

0h00 o 0 000 H= K(S + pri + , On aura

log K = 0.07670 85737 4070, K = 1.193518 71668 9482, H = 0.10969 09424 8484.

En partant de ces valeurs, et suivant la même marche que dans l'exemple précédent, nous avons formé le tableau suivant qui contient les valeurs des coefliciens calculés avec dix décimales, jusqu’au neuviémé ou dixième terme.

Oo [e) o Le Le) o o o

Le peu de convergence de ces séries exigerait qu’elles fussent poussées très loin, pour que les coefliciens devinssent négligeables, On en jugera par la formule (17) qui, étant appliquée au cas de À = 50, donne

50. Puisque la théorie des fonctions elliptiques peut faciliter beaucoup la détermination des coefliciens P(A,+)et P(A, 3), dans le cas où a est très peu différent de l'unité, il importe d’éxaminer avec soin les conséquences ultérieures qu’on pourrait déduire de cette théorie.

Soit donc proposée la quantité D' =(1+ a°— 24 cos ®}" ; je fais 924 —7,;t= es et j'ai D°—(1+# 4) (1—c sin 4) ou D — (1 — a) a, en faisant à = yÿ/(1 — c* sin* 4).

Du module c qui a pour complément b= y(1—c*), on déduit le

module suivant c° par la formule «= laquelle donne dans ce cas

c—=a,et son complément & = y (1 —a*). Si ensuite on prend une nouvelle amplitude 4° qui satisfasse à équation trigonométrique tang (L°—4)—=

b tang, ou qui soit donnée par la suite d°=24— a sin 24 + +a* sin 4d—+%a sin GL + etc., on aura la transformée suivante, où 4° représente y (1—c°* sin* 4°), c°* cos Ÿ° + 4° 1+c :

de là on tire, en observant que © = a,

D' = 4° + a cos n°, (35) Dons

Mais si on fait a° = VE) D'=1-#a""—20° cos @°, pa 07,

on aura semblablement (De) = (1+ de a, ou 4°= - D, donc D”?

ou …

.— ES (10% — 209 cos g°)i + 24/a° sinsg (36) (1+ a%— aa cos ®) EEE CT CU, LiMrauer

31. La relatiou directe entre @° et ®, par laquelle on obtient,cette trans-

formation, est contenue daus l'équation tang (49 — 19°) = b cot 3 9.

Mais pour qu'il n’y ait pas lieu à ambiguité, quand on veut déterminer @° par le moyen de-#, il faut imaginér que l’are-® sugmente indéfiniment depuis la valeur zéro jusqu” à tant de circonférences qu’on voudra. Cela posé, l'arc ®° devra satisfaire. à l'équation sin (® + 57 —:9°) = a sin (ir +1"); d’où l’on voit qu’en désignant’ par 8 le plus petit des arcs qui ont a pour sinus, la quantité ® +27 — ;9° sera toujours renfermée entre les limites +8 et — 8, de sorte qu’on pourra supposer @° = 29 +7 + 8 sin A, A étant un angle qui varie avec @; c’est-aussi ce qui résulte de la série

2D° = Er @ fe a sin @ += 24° sin 29 + 34° sin 39 etc. Maintenant comme 4° sera toujours plus petit que 4, puisqu'on a....

PER 1 =Vy@ — a*)

1 HV — a)? la fonction (D-}* se développera en une suite

L,+ 2L, cos @°—+ 2L, cos 29° 2L,, cos 39° + etc., dans laquelle le coeficient L(4) est en général la valeur de la fonction P(E, 7), lorsqu'on fait 2—=—+ et qu’on met 4° au lieu de a. Dans le cas de l'exemple III, on a 4°= 0.18308; ainsi la suite L,, L L,, etc., doit être fort convergente; on trouve en effet le terme...... . L,,= 0.00000 00007 733.

. Lä * L — L LA LU Cette suite étant trouvée, le développement de D”*, ordonné suivant les cosinus des multiples de ç°, sera

À I L, + La 008 9% a cos 29° aL co 394 ct (37)D (Ga) (1 +a) + 24/a°.sin À @° }

On pourrait, pour plus de symétrie, mettre au lieu du terme 2y/4*.sini®°, sa valeur

4Vaæ 2 cos g° 2cos 29° __ 2 cos 3ç° | ee (i— "1.3: 3.5 5.7 — etc);

mais cette suite n’élant pas suffisamment convergente, il vaut mieux ne rien changer à la formule.

32. Si on voulait avoir le développement de D, on le déduirait aisément de l'équation (1 — 4*) Di = A°— a cos Nd°, qui, étant élevée au cube, donne

(1 — a D"? — = A°(A°*+ 3a* cos* 1°) — a cos Fra a* cos*L"°). Mais on à A°= 1 — a+ a cos" A°, d’où A°(A°—+ 5a* cos 4°) — 3A%— 3 (1 — a) A°, a cos 4°(34°*4 a* cos" 4°) — 4° cos 34° + 3a cos 4°; donc k . (ia) D — ON — a*) A° + 3a cos 1° + 4 cos 34°. Substituant les valeurs A° — TE, =: ++ @°, il vient enfin,

G—a)D = RD — HIDE — ga sin sg + ao 3@e.

Or on a déja fait (D°)* = L,+-2L, cos g° + 2L, cos 29°+ 2L, cos 39°+- etc. ;

SECTION 1. 557 supposons qu’on ait semblablement

(De): = M,—+ 2M, cos @° + 2M, cos 29° 2M, cos 39° -etc.,

on pourra déterminer les coefliciens M,, M,, M,, etc. d’après les formules (17) qui donnent :

M (rt + a) L, — 24L,., .

M, — Là (L, = L,) ;

M, = — jæ&(L, — L,),

etc.

On connaîtra donc le développement de D'par l'équation (1— a) D” À (58)

me L (M, + 2M, cos@° + 2M, cos 29° + 2M, cos 39° + etc.)

+ EPL. + 2L, cos g° + 2L, cos 29°+ 2L, cos 39° etc.)

Lu 2 @° =} a sin à ®°,

et ces séries exprimées par l’angle @°, seront en général beaucoup plus convergentes que celles qui sont exprimées immédiatement par l’angle @.

33. On pourrait ultérieurement réduire le développement de D" à celui

de (De): , dans lequel les coefliciens décroîtraient encore plus rapidement, puisque a*° est beaucoup plus petit que 4°, et il serait facile de continuer à volonté ces réductions. On a en effet les équations sucoessives :

{1 —a)D ‘= a sin i@+

{De} — æ sin g” + SF (D), (Do) = — a sin À @"+

etc.

7 (De) ,

d’où résultent ces valeurs de (1 — a*) D'i,

(ua )DÈ = asin 3g" — VE sin je" es . ss", av/a . aV'a°a®

(rs —a)D" 5 — asin D — —— sin 5 Q"— 7 sin + q°*

a æ æ° — ve sve 7e") etc.

T. Il. 89

Mais à cause du décroissement très rapide de l suite 4, 4°, a°°, a°* ,etc., les quantités D°, D*, D°*, etc. tendront non moins rapidement vers leur

Ps: . NS x s a a a° limite qui est l’unité; et à ce terme, le produit Aya av ave °c

sera ce que nous avons désigné par & , donc on aura généralement , (39) (1 —a)D'È= Easin gr — VE sin: qe — ver sinzg°*—etc.

Cette formule a beaucoup d’analogie avec celle qui donne la valeur d’un are d’ellipse; elle forme une suite très convergente dont il suflira toujours de prendre un petit nombre determes, et au moyen de laquelle on exprimera en quelque sorte rationnellement, la quantité irrationnelle (1-a—2acosg) à. Mais ce développement a l’inconvénient d’être formé avec des variables g°, g®, etc., toutes différentes les unes des autres, et par cette raison, la formule est plus curieuse qu’utile. Il n’en est pas de même lorsqu'on s’en tient à la première transformation, et il est permis de croire que l'expression que nous ayons donnée de D”: en fonction de l'amplitude g°; pourrait s’appliquer utilement dans quelques cas difficiles de la théorie des perturbations des planètes.

34. Si l’on fait 9 = 0, il en résulte Pr, P=25r, 97m, eic., et l'équation (39) donne

iamgae + Ve 4 pre + TT à - +etc.

. “ r » 1 Ainsi on a en général cette valeur de — :

K 1 eve eve) aVteure) | K 2 dé sa 8 Cette formule qui résulterait également de la supposition g=7#, peut se déduire facilement des formules déjà connues; en eflet on a a = sie , a =, eto.; ainsi les différens termes de la suite précédente peuvent

s'exprimer comme il suit :

a aV/a° __ æ av(a°a®) | a a V/(a°a%a°®) a

2 Tite 4 1+a. Le 8 Tata. ia, 1—art

On aura donc

etc.

| PRES a a” a°%

ET à He 1H Ha Hair Ha. +a%

Cette série, selon qu’on l’arrête au 2"° terme, au 5", au 4”*, etc., donne successivement les résultats :

— etc.

1 1 Li 1Hae? 1Ha.it a? 1 Hair Fa®.i Fans» elc.

Ainsi on aura en général K=(1-+ a) (ia) (1 a), etc., ce qui est la valeur connue de cette quantité.

$ IV. Calcul des coefficiens différentiels de la fonction P(»x, n) en faisant

varier à.

35. Proposons-nous maintenant de trouver les coefliciens différentiels de la fonction P (A), pris par rapport : a.

Puisqu'on a en général P() = 2e 2®, si on différencie cette équation par rapport à 4, on aura L FO — 2 fs (a — cos ?) ;

ou dP (à) n de cos(a— 1)@ d@ cos (a+ 1)® 2ad@ cos x@ pré Ce) SE + SE — Rare).

Appelons comme ci-dessus Q(x) ce que devient la fonction P(x) lorsque n se change en n + 1, nous aurons

dP Go) Te =n[QR—1)+ QG +1) — 2aQ UN)

Ainsi en supposant connus les coefliciens Q, , Q,, Q., etc. qui appartiennent au développement de D—"—", on connaîtra les valeurs successives du coeff-

cient diflérentiel Te ; il n’y a pas même lieu à excepter le cas de1=0,

parce qu’alors on a Q(—1)=Q,, et qu'ainsi la formule (40) donne dPo LR n (2Q, — 2aQ,).

36. Si l’on veut déterminer les coefliciens différentiels 72 ; Sans supposer la connaissance des coefliciens P(à, n=} 1) qui répondent à l’exposant 7 1, et que nous avons désignés par Q (x), voici comment on pourra y parvenir.

560 APPENDICE, L’équation (19) étant mise sous cette forme à PO)=a[Q(a—1)—Q(x+1)], si on la différencie par rapport à 4, on aura

PO QG — 1) —Q04+1)+a[ 000 -RCEIT, dP (à).

substituant au lieu de —j;—, sa valeur donnée par l'équation (40), on

trouve

$ AG) — RCHI (—IQC—NI+EHIQCHN — 2Q (à).

Puisque x n’entre pas dans cette équation, on peut mettre P () 2 au lieu de Q(à), et on aura également cette formule générale :

(1) æ0—) PA+H1) G—NDP SE LR AE nt) RE FAT

da Elle PAS successivement

# ‘ Ps — = ed = (2P, ) — 2P, ,

dP, Fey D DE = L (P, + 8P5)—4P.,

De D = À (aP,-+4P)—6Ps,

etc.

d’où l’on voit que, pour calculer les coefliciens diflérentiels successifs dP, dP, dP, FR FA D: , etc., il suffit de connaître les deux premiers De, Fe.

37. On a pour cet effet les deux équations dPe = n(2Q,— 240), Us — n ( Q. + Q, — 2aQ,),

dans lesquelles il faut substituer les valeurs de Q,, Q,, Q., exprimées en P, et P,, d’après les équations du n° 18 ; cette substitution donne

dP,

= = (P. + aP, — Ph), mn a+, — :. “SP.

Mais on peut mettre ces équations sous la forme suivante, plus commode pour le calcul numérique,

a tar ler— 1) P, + 2nP, . LP. b Gr FE

= [Can — 1) Pi anP, + EP, ].

Ces formules se simplifient encore dans le cas de #— +, et donnent dP, aP,—P, dP, dE, (45) Dr Bei

c’est aussi ce qu’on trouverait immédiatement par la diflérentiation des équa-

tions (29), en observant qu’on a =. © Æ —— = (F —E").

38. Si on veut avoir la valeur générale du coeflicient différentiel A, exprimée par les fonctions P seulement, on la déduira aisément des équations (40) et (23); mais voici un moyen d'y parvenir qui nous fournira en même temps de nouvelles formules.

Nous avons déjà trouvé 7—— Se à — an [C0 02 | on a sem-

blablement # FCEI =— 2n feet ne Je. ; de là résulte

FCE dA+UD , = [(a—cosp})" cosAp+-(a— cos ®) sin psina® |:

Le second membre se réduit à

an foot Lan f den Ça sin xp—sin (A+ 1)0],

et au moyen de l'intégration par parties, il se réduit ultérieurement à

sin (à + 1}? — a sin A an+à f'dg cos 19 (+ RmCEDe dCi dant Pipe (LÉ) fée

La partie hors du signe est nulle dans les deux limites de ES et l'autre partie = (274) P(à) (+ P(a—+ 1); donc on aura la for-

mule

(44) LED — 4 re = (an+2) P(x) — (° + -) P(a+i).

Si on change le signe de À et qu’on observe que la formule...

PQ) = - f = en donne P(— à) = P(x), on aura semblablement

562 APPENDICE, GS) Da (an — 2) PO) +

Ces deux équations donnent par leur différence la formule (41); mais, pour

dP (2) da

en déduire la valeur du coefficient cherché

, il faut encore recourir

à l'équation (13), dont la différentielle est d LD +a +10 GE OLD LEO 2 hPO)= 0;

et par la combinaison de ces trois équations, on aura

(46) (a) D = in) Pr) (tin) P(r)anaP().

D'où lon voit que le coeflicient différentiel AE se détermine assez sim-

plement par les trois termes consécutifs Pi), P(à), P(A-+1);il pourrait se déterminer par deux seulement de ces termes, en éliminant le troisième à l’aide de l’équation (13); mais la formule qui en résulterait serait moins simple que la précédente.

39. Au moyen de l’équation (46) on pourrait trouver la valeur du coefli-

aient différentiel co] ®), exprimée par les fonctions P(a); mais cette ex-

pression serait fort be. et la complication augmenterait encore dans la valeur des coefliciens différentiels des ordres supérieurs. Pour éviter cet inconvénient, on pourra former successivement les coefliciens différentiels de chaque ordre, à compter des deux premiers termes où l’on a À=0 et a=1, par la méthode suivante, analogue à celle que nous avons suivie pour les coefliciens différentiels du premier ordre, dans les art. 36 et 37.

De l'équation (41) on tire, par la différentiation, (7) CO nono Le D (s 142 C0 x) ]-2 10),

ainsi, on connaîtra les valeurs successives de 01, si on connaît les deux ddP,

‘dé *

Or, par la différentiation des équations . on a ces deux formules:

on + a) sh +7

(+0) (x — mn NM

ddP, premiers termes >,

ainsi on voit que les termes , et se déterminent par des quantités

connues, puisqu'on est censé avoir formé la suite des coefficiens différentiels du premier ordre, avant de passer à ceux de second ordre. 40. On peut encore simplifier cette détermination et celle des coefliciens

différentiels des ordres supérieurs, par les considérations suivantes. On tire d’abord des équations (48).

ddP, , ddP, dp, de ds = Te?

ddP, ddl, ns dP, =) 2P, da” des = 2 a qu ” d’un autre côté, les équations (42) donnent dP, dP F7 — 4 = = (an — 1)P, , dP, dP, » :

combinant entre elles ces équations, on en déduira les deux équations différentielles suivantes, pour déterminer séparément les fonctious P, et P,

(a—a) Dei 4nti a) D — fn, = 0, (aa) Et a—({n+ a — Li + (én— 1)a Pl, = 0.

De là on voit que le coeflicient du second ordre ee se déterminera direc-

tement par le moyen des deux quantités À ee et P.. et que le coeflicient DE

se déterminera de même par le moyen de es et P..

41. Les mêmes équations feront connaître, par des différentiations répetées, les coefliciens différentiels des ordres ultérieurs. Ainsi l’équation relative à la fonction P, donne successivement :

a +(3—(4n +590] EF: —({n' rond aa D (Bnt—2) Pi 0, (aa) LE: HU Gn-+9es] LE 4n°+2on+ 12)a CR =, (50) a) ÊE: ARTS RES I Do (4n°+ 260428) —(16n°+#32n+ 1 sus =0.

Ces équations dont il serait facile de trouver l'expression générale, font

voir que la série des coefliciens difiérentiels =, =, =, etc. peut être prolongée aussi loin qu’on voudra, et que chacun d’eux se déterminera

toujours par les trois précédens.

42. Connaissant les coefliciens différentiels de la fonction P,, on pourra

en déduire ceux de P, par les équations successives

dP, ° 2:

Te = + (an — 1)P,, ddl, dP,

(51) da — + 28 T° æŒP, 2 dP, Fe un F + 1) da ?

dP, PP, de «+ 0 + à FE

etc.,

équations dont la loi est manifeste.

On peut aussi déterminer directement ces coefliciens, à compter du second ne , par les ours successives

(aa) o—0 ;

Ca) + +Ca—(in pe 75 a 2 —{({n"+8n ee =, ea +C3—(4n bar mont ae —(Bn°+8n Hu =0, (ac)? De + —ntro)a] Le —({n'-+an-taf)a Der —(ran+afn-t12) DE

etc. dæ, dar,

43. Connaissant les deux premiers termes du second ordre +, “ar? 00

calculera les suivans par l'équation déjà trouvée

DD OT un ED ne) PE —oxpra) ax ED

Cette équation étant différenciée successivement , donnera les formules suivantes :

(5) ER 40 nn: re, +

PRE) ECO. 2e 246 HE 1) g, Op

etc,

FP(—1) — ET SE = p{a3) ins) He 2] EP),

Par les équations (50), (51), (52), on connaît pour un ordre quelconque &, dP.

da“? da* équations précédentes, continuer indéfiniment le calcul des autres coefliciens différentiels du même ordre k.

Toutes ces formules sont disposées de manière que les quantités a et 1—a* entrent comme diviseurs au moindre degré possible; elles seront sujettes à quelques inconvéniens, lorsque a sera très pelit et lorsqu'il sera très près de l'unité; dans le dernier cas, les valeurs du coeflicient 0 deviennent de plus en plus grandes à mesure que # augmente; mais les formules précédentes donneront toujours à peu près le mème degré d’exactitude relative sur la valeur des quantités qu’on cherche; c’est-à-dire que le nombre de figures exactes par lesquelles elles sont exprimées, sera toujours à peu près le même.

les deux premiers coefliciens différentiels ; on pourra donc, par les

44. Lorsque a est très petit, on peut éviter tout-à-fait l'emploi des équations précédentes, et déterminer directement les valeurs des quantités P(A) et de leurs coefliciens différentiels de divers ordres, par le moyen de Ja formule (me)

EDR |

En eflet, si pour une valeur donnée de À, on calcule les différens termes de cette suite, que nous désignerons par Ca”, C'a*+3, etc., en sorte qu’on ait

P(A) = Car + Carte + Cart 4 + Cl'ar+6 etc. ;

les coelliciens différentiels successifs de P(A) se détermineront immédiatement par les formules

LOTS ata)C' ar + (a )C'a rt IE (a+ 6)0at Sete, OS Ca papa. Ar. Ce Haté.a+3.C'a tete, (54) LS A dr 2. Ca aa ar, AC'a af. 243.242. C'a + pete,

etc. ?

et on voit que les calculs seront faciles à cause de la convergence des séries, et de l’emploi répété des mêmes coefliciens C, C', C”, etc. 45. Nous remarquerons que les calculs sont susceptibles de quelque simplification, si, ayant à calculer les coefliciens différentiels de la fonction P(à) T. I. go

qui répond à l’exposant #, on connaît déjà les valeurs de la fonction Q(à) qui répond à l’exposant n + 1. En effet, d’après la formule (40), on aura

successivement dP

= n(2Q, — 2aQ,), = n(Q, + Q, EE 24), = n(Q, + Qs — 24Q,),

etc.

Pour avoir une expression semblable des coefliciens différentiels du second ordre, je différencie l’équation ({0), et j'en tire

ddP — ges der mére ae |

J’observe ensuite que si on met x + 1 à la place de »#, et Q à la place de P dans les équations (44) et (45), on aura, en ajoutant ces équations,

DD 4 DOI DO jan + )Q0)+ QU — 19 QU +1):

substituant cette valeur dans l'équation précédente, on aura la formule

(55) FD an(an + 2)Q() HA —1)Q 1) (2 + QG + 1).

Ainsi on voit qu’au moyen des fonctions Q(à) au P(A, #+ 1), on pourra

déterminer les coefliciens différentiels du premier ordre — ee par la formule

(40), et les coefliciens différentiels du second ordre re v par la formule (55). 46. Dans le cas de n= } , les deux formules de et (55) donnent

; TE = HQA—1)+ QAR + 1] — «Q0),

(56) | Le 2Q0) + == 9 — Q+ DQG+ TD

Voici l'application de ces formules au cas de l’exemple IE, dans . on a déjà calculé les premières valeurs de Q(à), désignées par PQ, 2

ŒP(à,3 nur” MS

La troisième colonne a été calculée par les formules des art. 41, 42 et 43. 47. On voit par le tableau précédent, que 4 étant peu différent de l’unité,

les coefliciens diflérentiels successifs

ordre #, les divers coeflicien

da ?

0, ddP(x) dP(à)

De —,etc., augmentent, d’une manière fort rapide, = ps au suivant. ai ouh dans le même

quel ils décroissent Ré et finissent par être aussi petits qu’on

voudra.

On pourrait trouver une valeur assez approchée de 0, lorsque à est

très grand. Pour cela il faudrait faire usage de la formule (16) qui donne

rA+n) a Di n at (57) P() — Par +i)lLa er" JLHÉET-É "a+hi° (Ga) nine nent a+ 1.2 ‘AHi.àha2 n=pete |.

Soit done 067

= F(#, 7»), F(,») désignant une fonction connue de a et des exposans x et » ; on aura en a j

(58) dé = Lrn a FG+2,n+ 7) | HELP FGfenta)ete. ||

Lorsque à est très grand, comme nous le supposons , celte suite est ssez congo..

vergente dans ses premiers termes, pour qu’on puisse négliger les termes suivans; la question est donc réduite à trouver la fonction F pour un ordre donné #, ce qui n’aura aucune difliculté tant que À sera d’un petit nombre d’unités.

$ V. Résumé général de la Théorie précédente.

48. Il ne sera pas inutile de présenter, sous un même point de vue, les principales propriétés de la fonction P(A, 7), que nous avons démontrées dans cette section.

L. Cette fonction est purement algébrique lorsque 7 est un nombre entier positif ou négatif. Dans tout autre cas, les fonctions P(à, x) forment un genre particulier de transcendantes, qui a de l’analogie avec les fonctions elliptiques complètes de la premiére et de la seconde espèce, et qui se réduit à ces fonctions lorsque 27 est un nombre impair.

IE. Si on considère les valeurs de P(à, n), qui répondent tant aux différentes valeurs du nombre entier À, qu’à toutes les valeurs de 7 qui ne différent entr’elles que d’un nombre entier, toutes ces valeurs peuvent se déterminer par le moyen de deux transcendantes seulement, pour lesquelles on peut choisir deux termes consécutifs, tels que P(4,n), P(kH 1,7) ou P(&, n), PA, n+1).

TL. 1] en est de même des coefliciens différentiels 209 . v,9 , Se, etc. à linfini, lesquels peuvent, dans les mêmes cas, être déterminés entièrement par les deux mêmes transcendantes. Cette propriété que les fonctions P(à, 2) partagent avec les fonctions elliptiques complètes F'e, E'c, n’a pas lieu dans un grand nombre de transcendantes, et notamment dans les fonctions log Ta, dont les coefliciens différentiels successifs offrent des transcendantes différentes de Ja fonction principale.

IV. Les deux mêmes transcendantes qui déterminent les diverses valeurs de la fonction P(a, 7 #), à et À étant des entiers quelconques, peuvent aussi servir à déterminer la fonction P{a, 1—n+£), ou simplement P(à, Hk—n),

Ainsi en général, les deux transcendantes par lesquelles on peut effectuer le développement de D", serviront aussi à effectuer le développement d’un terme quelconque des deux suites

ssocce D, Det, Dei, De Det, Dr Ds, ,,....

RS | dia D" SE 1 DE, Der ER D, ...…..

V. Quel que soit Pexposant »#, pourvu qu'il soit positif, la valeur du coef-

ficient différentiel d’un ordre quelconque au il sera toujours positive.

VI. La plus simple des transcendantes désignées par P(à, n), est P(o, n); si on la désigne par (7) ou +, sa valeur sera donnée par l’une ou l’autre des deux formules suivantes:

Hn)=1+(! e) “+ n. EE a+ (EE EL 2) + ete.,

PAS ES C: HT) à Ne .n—2 a+ CE n—3\" at+ete. |.

VIL. 11 résulte de la deuxième propriété qu’au moyen des deux fonctions consécutives (7), (72 1), on pourra eu général exprimer exactement la transcendante P(x, #), et plus généralement la transcendante P(x, £n+#); K étant un entier quelconque. Il en sera de même des coefliciens différentiels de cette transcendante.

49. Puisque Ja fonction P(o, ») ou 4{n) est la plus simple des transcendantes désignées en général par P(A, 7), et qu’elle sert à exprimer ces transcendantes, nous examinerons succinctement les propriétés qui lui sont particulières.

On déduit immédiatement des équations (59),

(6o) d(n)=(i— 0)" (ri — n); d’où il suit que les fonctions (7), (1 —n), qui se servent en quelque sorte de complément, peuvent être déterminées l’une par l’autre.

En faisant » négatif dans cette équation, ou en mettant — # à la place de ñn, on a l'équation (G) J—r)= (ia) (1 +); d’où il suit que toute fonction 4{— 7) dont la variable est négative, peut se changer immédiatement en une autre dont la variable est positive.

On peut réciproquement changer toute fonction 4(n) dont la variable est

- positive, en une autre dont la variable soit négative, pourvu qu’on ait n>1; cela résulte immédiatement de Péquation (Go).

Lorsque n est € 1, la réduction ne peut plus avoir lieu, parce qu’alors x et 1 —n sont tous deux positifs. Ainsi la formule (60) docs: par exem-

ple, NG)=(1— a) LE), JO = (1 — a) V3), ce qui ne se rapporte

qu'aux fonctions complémentaires.

50. Lorsque a sera très près-de l'unité, on ne pourra que très difficilement

déterminer, avec un certain degré d’approximation, la fonction 4 par les suites (59); dans ce cas, on ne peut mieux faire que de chercher la valeur de

J{n) par les quadratures. On a d’abord (r) = =: J + mais cette valeur n’est bonne à employer que lorsque n est négatif, parce que D étant très petit pour les premières valeurs de ®, l’ordonnée 5 de la courbe à quarrer serait très grande! si » était positif.

Au moyen des quadratures, on trouvera donc très aisément la valeur de (— m), en employant la formule (— m) =" JD"d?, et cherchant la valeur de l'aire pour les limites p=0,p9=#.

Et puisqu'on a (m + 1)=(1—a)-t-#" (1m), il s'ensuit qu'on aura, par le même moyen, la valeur de la fonction (7) pour toute valeur positive de n, pourvu qu’on ait n => 1.

J1 reste donc à voir ce que l’on doit faire lorsque 7 est positif et € +.

51. Sion fait V= Eu et qu'on différencie chaque membre par rapport

à ®, on aura, après quelques réductions,

2adV = {1 +#n) (1 — a) pes — (1an) (1 +) +n® ; intégrant de part et d’autre dans les limites fixées, et observant que dans ces limites V s’évanouit, on aura la formule (62) o=n(n)—{1-+an)(1+a*)}f{nHr)+ (1 n)(1 a) (n-+2).

Cette formule, au reste, serait facile à déduire de celles qui ont été trouvées ci-dessus pour les fonctions P(x, 2); mais nous avons préféré de la démontrer directement.

52. Au moyen de la formule précédente, toute fonction (7), dans laquelle » est plus petit que l’unité, pourra s'exprimer par les deux fonctions L(n+ 1), 4h + 2), dans lesquelles la variable est plus grande que l’'anité; celles-ci se déterminent facilement par les quadratures , ainsi qu’on l’a fait voir dans l’article précédent : le cas de » pôsitif et << 1 se résoudra donc de même par les quadratures.

Où aüra, par'exemple, d’après la formule (62),

NG)= 5 + a) 45) — 40 — a) V5);

d’un autre côté par la formule (60), on a

JO=tse)ig(ey, JO=G ae) 4(—4.

SECTION LI. 571 donc Ga) 45 +0) 45) — 44 —$):

et par conséquent (3) se détermine au moyen de la formule Ga) 4(G)= CH fDi ap — À Di de.

53. Connaissant les fonctions (n), {7 + 1), J(n + 2), etc., au moyen de deux d’entr’elles, on pourra de même déterminer les valeurs de leurs coefliciens différentiels successifs , pris par rapport à a.

Eu effet, de l'équation (7) = TE pr 00 déduit AO fa—cose) LA Substitaant la valeur a — cos ® = te —— ; il viendra ae) = = — CO fo ce qui donne la formule (63) a D = 4 (n)— n(1 — a!) An + 1).

Ilest visible que par cette formule on pourrait obtenir la valeur du coeflicient différentiel ee, exprimée par les fonctions (x), L(n+ 1), L(n+ 2),

ou seulement par les fonctions J(n), 4(n + 1), puisque 4{n + 2) peut être éliminé au moyen de léquation (62): on aurait de même l’expression des coeficiens différentiels des ordres plus élevés. Mais on peut plus directement parvenir au même but par le moyen des équations (52), où la fonction dési-

gnée par P, n’est autre chose que 4{7) ou +. En vertu de ces équations on a d’abord

Ga Ge) ter ge) À — fra; d’où il suit que le coefficient différentiel du second ordre , se détermine

directement par le moyen de + et de #, et qu'ainsi il peut étre exprimé par les deux fonctions 4{(n) et {nr + 1). On voit ensuite par les mêmes équations, qu’à compter de À, un terme quelconque de la suite 4, S, 4 S , S , etc. , se déduira des trois précédens, suivant une loi dont fl

serait facile de donner l’expression générale.

PA AAA AAA AA SNA AAA AA AA AA A AA AA AAA API AA AAA AA AA AA AA AA AE

Des Quadratures.

Anis avoir traité d’un grand nombre de trauscendantes que l’on peut évaluer avec plus ou moins de facilité par les méthodes qui leur sont propres, nous allons donner les moyens de trouver la valeur aussi approchée qu’on voudra d’une intégrale quelconque /ÿdx prise entre deux limites données, ce qui est l’objet du problème général des quadratures.

$ 1. Formules générales pour les Quadratures.

54. La question étant de trouver la valeur de l'intégrale Z=/ydx entre deux limites données, nous prendrons pour ces limites x=0 et x =4; parce qu’on peut toujours fixer l’origine des abscisses au point où commence l'aire cherchée, de manière que Z et x s’évanouissent en même temps.

Pour obtenir plus facilement le degré d’approximation qu’on peut désirer, nous supposerons :

1°. Que dans l’intervalle donné depuis + =0 jusqu’à x= 4, la fonction y reste constamment de même signe, et nous regarderons ce signe comme positif; s’il en était autrement, on chercherait successivement les différentes parties de l’aire situées de différens côtés de la ligne des abscisses , et on retrancherait la somme des aires négatives de la somme des aires positives;

2°. Que la courbure de la courbe, depuis += 0 jusqu’à x=a4, n’éprouve aucune varialion assez brusque pour que l’un des coefliciens®., 2, 3, etc. devienne infini. Ainsi daus toute l’étendue de la courbe que nous voulons quarrer, l’ordonnée qui répond à une abscisse æ—æ très peu difiérente de x, pourra s'exprimer avec une exactitude suffisante par la suite J+a +2 A 2 + = : Pete. , Sans qu’il y ait lieu à exception pour

aucun point. Cette condition est surtout nécessaire aux deux limites de l’in-

tégrale (*); elle est moins importante dans les points intermédiaires parce que, si elle n’avait pas lieu, on trouverait assez facilement dans chaque cas particulier la correction que cette cause d’anomalie exigerait. (Exerc. de Calc. intégr., tom. 1, pag. 314.)

55. Cela posé, divisons en # parties égales la base a de l'aire que nous voulons évaluer , et soit a= nw; on pourra imaginer que l’aire cherchée Z est composée d’un nombre 7 de trapèzes curvilignes sur un côté, dont la base commune sera w, et qui auront pour côtés parallèles deux termes conséculifs de la suite Fo, Fw, F(2w), F(3w)...F(nw), formée en supposant y =F(x).

Le premier trapèze est mesuré approximativement par £w(Fo+Fw), le second par ?& (Fo + F2%), ainsi de suite; donc la somme de tous le sera par la suite

o[+Fo+ Fo + F2... HF(x— 0) + :Fx],

où il faudra faire x = a = nw. Cette suite étant représentée par 7wM ou aM, M sera la moyenne des # ordonnées 2(Fo + Fx), Fo, F(2»).... F(xæ—w), la première +(Fo + Fx) étant elle-même une moyenne entre les deux extrèmes Fo, Fx.

On peut encore évaluer, d’ane manière approchée, le premier trapèze par @F (1w), le second par &F(?w), etc., et la somme de tous par la suite

Cette suite étant représentée par 7&N ou aN, N sera la moyenne des x ordonnées Fi1w,F3&w, F5... F(x—+).

Ainsi, nous avons deux valeurs approchées de Paire Z, savoir Z = aM et Z—aN. Mais il reste à trouver la correction qu'il faut appliquer à ces valeurs approchées pour en avoir de plus exactes et pour connaître en même temps le degré d’approximation qui correspond à la valeur prise pour n et qui doit augmenter à mesure que n est plus grand ou plus petit.

56. Pour cet effet, soit V ou V(x) la somme de Ja suite Fo + Fo + F30.... + F(x— 0) +F(x);

(*) La simple substitution x= 4", ou a — x = 4", suffira, en déterminant convenablement l’exposant m, pour faire remplir cette condition dans l’une des deux limites, au moins pour quelques-uns des premiers coefliciens différentiel.

T. 1. gt

574 __ APPENDICE, si on met x — « à la place de x et qu'on prenne la différence des deux suites, on aura F(x)= V(x) — V(æ—«), où :

dv a" ŒVv Fr= «. Da! pe VIT . es — etc.

De là on peut tirer une valeur de wV qui sera de la forme

oV = fFdx 308 ++ Aa À Bla DE + Cat Dh etc. ;

et comme cette équation est linéaire par rapport aux fonctions F et Ÿ, les coefficiens A’, B’, C', etc. seront les mêmes pour toute valeur de V. Soit donc V ou V(x)= e*, on aura Fe — er —=e"(1 sir) SEdz=F,— Pere LE Tr, etc. Donc D (1 — ee) (1 + Lo Aa + Blot + C'ot je etc.),

TR ce = 1 + A'ot + Bo -E C'ot + Def etc.

not

Le premier membre est une fonction paire de w, le second membre ne doit donc contenir non plus que des puissances paires de w. Pour avoir égard à cette propriété, nous prendrons de nouveaux coefliciens A,, A,, As, etc., tels qu’on ait

Ca @V = fFdx + l0F + A ,œ* PE — Auot Se + Aso° DE — etc., et ces coefliciens seront déterminés par l'équation

e he ,

PRE 1-+ À, 0° mm À 0t+ Asso —etc., ee FCI

+@ ou, en mettant 3ÿ/ — 1 à la place de 2w, 1—20cot3= 2" A, 2° + 24A, 345 26A, 26 —L'elc. Or, on sait qu’en faisant H,, — =. Ssms Sem étant la somme de la suite 1+ a cd ge + gs + etc., on a la formule

1—scots= 2H, 2° 2 2H, 24 0H,36 etc.

Ainsi les valeurs de A,, A,, A,, etc., se déduisent très simplement de celles des coefficiens H,, H,, H,, etc. , et il en résulte la formule générale

SECTION ll. 575 1 Pa dF PA (1) aV = [Fdx + 50 +—H, Z,-3B, a + SH, 5 — etc. Cette formule coïncide avec celle qu'a donnée Euler pour le cas de #=—1 , dans

son Calc. diff: art. 115; mais la forme précédente parait préférable en ce que

les coefliciens LH, 5 5 5; 5 Hs etc., offrent une suite très convergente, dans laquelle le rapport de chaque terme au précédent tend de plus en plus vers la limite 7x où T à peu près.

57. Si on suppose maintenant comme ci-dessus, que l'intégrale 3 = /Fdx est prise à compter de x= 0, … qi en même temps la = aY =0;

et si on désigne par Fo, Le, a -, etc., les valeurs de FE L D etc.,

lursque x = 0, il faudra ajouter à l’équation (1) une ir qui réduise les deux membres-à zéro lorsque x = 0. On aura de cette manière la formule aV = fFdx + : OU) +R (L-S "et PEN ut Eu dE ALE er -] etc.

Or la suite désignée par & V est telle qu’en dursjoutant le terme w(Fo—:Fzx), la somme est la valeur de aM ; on aura donc

aM = fFdx + TH (SE — sr PEF ŒF, (2) “38 — am) « dE EF + =. H, e + Heu TS — etc.

Pour avoir semblablement la valeur de 4N, il faut d’abord mettre + w au lieu de « dans la valeur de «V, ce qui donnera l’équation

30[F£Lo + Fo+Fie... FRE NEA

= fFde + 40 (Fx— Fo) + SH (ET — 5H ie

+ À +) ls

par 2 el retranchant de part et d’autre la valeur de a V, on aura

Cle 1 2