CHAPITRE I
La série des modules €, c°, c*”, etc. comprend toujours un terme de plus; elle devra par conséquent être terminée au module c#. La raison en est
qu’on a alors = (+ Ca rt et qu’ainsi le logarithme de &“—" est nécessaire pour composer la valeur de log c“.
Passé le terme c#, il n’y a pas lieu de considérer le suivant #1, parce qu'on aura sans erreur sensible #+'=(1#}, et qu’ainsi la quantité
log . ne change pas en mettant w + 1 à la place de pu.
Cela posé, il est facile de voir qu’on connaîtra les limites des différens cas, en commençant par déterminer la valeur du module c qui donne pour son complément log b= — :(10)"4
Le module supposé © étant extrémement petit, on a d’une manière suffisamment exacte b=—1—;c* et log b—— + met(*); donc e* = M (10) "4 etc=(10)" M, ou
logc=—=3.1811078.
Si on assimile c au sinus d’un arc, on trouvera que cet arc n’est qu’une fracuon de seconde et qu’on a c = sin 0"0313.
Il faut maintenant partir de ce module très petit pour former la suite P peus po k des modules croissans e, c’, c”, c'’, etc.; c’est un calcul qu’on pourra faire
d’une manière suflisamment exacte pour notre objet, par une table à sept décimales seulement.
On aura d’abord =, ou simplement “ =2y/c, ce qui donne log c = 6.8915839 et c — sin 0°2/{0"30.
Pouravoir c'je fais c'=tang* 18, j'ai ltang10=—8.4457019,:0=—1°35"55"8, 0= 3° 11/5156; donc «= sin 3°11'51"56 et log c"— 8.464836.
Si on fait de nouveau c"=—tang* :6/, on aura /tang 18 —9.3732418,
2 — 1317/18"8a, Ÿ — 26°34/37"68 : donc c" = sin 26°34/37"68 et log c""= 9.650698.
Soit enfin c”=tang* 10", on aura /tang18"=—9.8253490, 1 2033-46" 40"15, W=633/20"30 ; Fa c=sin67"33/20"30 et log c'"=09.0657808.
(*) Dans tous les calculs logarithmiques qui suivent, nous désignerons constamment par la lettre m, le nombre connu 0.434209, etc. dont le logarithme est 9.637358 431 13 00537 et par la lettre M son inverse 2.30258, etc., dont le logarithme est o.3622 1 56886 99463.
ss
645. Il résulte des calculs précédens, 1°. que depuis e = sin 67°33' jusqu'à c= sin 26°34' on devra se borner à calculer les quatre termes à, 4°, be, be, et les cinq ©, c°, ec, ce, ge.
2°. Que depuis c = sin 26°34' jusqu’à e = sin 3°11', on n'aura à calculer que les trois termes D, b°, b*, et les quatre ©, c°, «°°, c°®;
. Que depuis c = sin 3°11' jusqu’à € = sin 0°2’40", il suffira de calculer p Ses termes b, b°, et les trois c, c*, c°°; *. Que depuis € = sin 0°2/40" “à c= sin 0"0313, il suflira de caia le terme &, et les deux c, c°
5°. Enfin qu’au - dessous . and “0313, on n’a bise que du seul terme c.
Tel est le nombre des termes de la série des modules et de celle de leurs complémens, qu’il sera nécessaire de calculer dans les différens cas, pour obtenir 14 décimales exactes dans les logarithmes des fonctions F'e, E'c, F'#, E'6. Nous allons faire voir maintenant comment les calculs de ces modules peuvent être effectués de la manière la plus facile.
Formation de l'échelle des modules.
646. Connaissant les logarithmes de c et b, il s’agit de trouver ceux des termes suivans c° et b°. Pour cela, soit © =x, l'équation b’c—2y/(bc°)
donnera x = ci 2} (1— x"), et en faisant p = L?, la valeur de z de-
veloppée en série régulière sera
, 5 cp ip + 7e Op — 7e CAP’ + etc.
Mais il importe de calculer directement logx ; or la valeur += v + 8 =.
donne
dx ____dp — dp a S : 1,3 1-3 5 s | = TpVO +) 20 a" 4 +33: 16p° 3.4.6" 04P +ete.),
d’où l’on tire en ue
Ê 3.5 4p° , 3.5.7 8p log x = log p —p* +; 7 dust Lie 54" € etc.
Ces logarithmes sont hyperboliques; pour les changer en logarithmes vulgaires, il faut multiplier les parties algébriques par m; c’est pourquoi fai-
sant P= mp — À mpt + 2 mpf —etc.,
