CHAPITRE V

tirés les uns et les autres de la Trigon. Britan. de Briccs, publiée après la mort de cet auteur, par GercisnanD, seul ouvrage où l’on trouve un aussi grand nombre de décimales ; car le Thesaurus Mathematicus de Pi- Tiscus, ne donne les sinus naturels qu’avec quatorze décimales. Nous avons cru que cette Table serait utile, ne fûüt-ce que pour mettre le lecteur à portée de vérifier par lui-même, et sans le secours d’un livre qui devient chaque jour plus rare, les calculs que nous avons développés dans différens endroits de cet ouvrage , et surtout ceux qui se rapportent à la Table des fonctions complètes.

La Table 1V donne les logarithmes hyperboliques de tang ( 45°+ 1), pour toutes les valeurs de ®, de demi-degré en demi-degré; ces logarithmes sont en même temps les valeurs de la fonction F@, lorsque le module est égal a l’unité, ou lorsque langle du module est de 90°.

Connaïssant, par la Table III, les Jogarithmes vulgaires de tang.. (45° + +9), ila sufli de multiplier ceux-ci par le module M = 2.3025, etc, pour avoir les logarithmes contenus dans la Table IV.

Enfin nous avons cru faire plaisir aux calculateurs en ajoutant à ce petit recueil, la Table Y extraite des grandes Tables du cadastre, où l'on trouvera les logaritbmes à dix-neuf décimales pour tous les nombres impairs de 1163 à 1501 , et pour tous les nombres premiers de 1500 à 10000.

726. La Table IV, dans laquelle nous avons inséré les différences successives de la fonction, autant que le format a pu le permettre, fait voir que ces différences décroissent d’une manière très lente , lorsque l'amplitude ® approche de go°. Alors l’interpolation de la Table devient très difficile, ou ne donne qu’une approximation insuffisante; mais il est inutile de s’occuper de cette interpolation dans le cas de la Table IV, parce qu'on a d’ailleurs assez de moyens de déterminer avec toute la précision © nécessaire le lug. hyperbolique de tang (45°+ +@), quelque soit @.

L'interpolation présentera de semblables difficultés, mais à un moindre degré, dans les Tables particulières dressées pour des modules dont les angles diffèrent peu de l'angle droits il y aura alors une partie plus ou moins étendue de chaque Table, celle qui répond aux plus grandes valeurs de ®, dans laquelle les interpolations exigeront un calcul plus long ; mais cet inconvénient ne se fera guère sentir qu’à compter de l’angle du module 8 = 70°, et seulement pour des valeurs de @ non moindres que 70 ou 75°. On remarquera au reste que les simples Tables de logarithmes des nombres et des sinus , sont sujettes à un pareil inconvénient , vers leur

y Ph | 10

commencement , et que celles des lagarithmes des tangentes le sont au commencement et à la fin , lorsque l’angle approche de 90°.

J1 serait superflu de parler ici de la double interpolation que l’on aurait à faire selon les diverses valeurs des angles 8 et ®, lorsque le système de Tables dont nous avons parlé sera exécuté, ou, ce qui revient au même, lorsqu'on aura une Table à double entrée contenant les valeurs des fonctions E et F, pour toutes les valeurs des angles 8 et @, de demi-degré en depui-deuré. Mais il y a d’autres questions qui concernent la construction de la Table elle-même , et qui méritent d’être discutées.

727. On peut d’abord observer que l’interpolation est en général plns facile à l'égard des fonctigns E qr. « l'égard des fonctions F ; et si on se rappelle que toute fonction F peut s’exprimer exactement par la fonction E et une autre fonction de même nature, on en conclura qu’à la rigueur on pourrait se contenter de construire la Table des fonctions E, laquelle présentera toujours plus de facilités et moins de cas d'exception, dans les calculs d’interpolation. Cette observation réduirait presqu’à moitié le calcul des Tables elliptiques, et ce calcul deviendrait surtout d’une exéculion assez facile, si on ne voulait avoir les fonctions E qu’avec sept décimales exactes.

Mais, d’un autre côté, les fonctions F étant plus simples analytiquement que les foncüons E, il y a quelque inconvénient à déduire la fonction la plus simple F ou F (c, @) de deux fonctions plus composées E(c,®), E(c°, g°). Cet inconvénient n’est pas simplement idéal, il se fait sentir encore par la complication qu’il entraine dans les calculs, puisque la détermination de la fonction E (ce, °) suppose qu’on a calculé de nouveaux élémens c, ç°, qu’on peut bien déduire trigonométriquement des élémens donnés c, @, mais qui rendent le calcul plus long et plus diflicultueux.

728. Il faut observer de plus que quand on détermine la fonction F, soit au moyen des deux fonctions E(e, g) : E (c°, g°), soit au moyen des deux

fonctions E(c, @), E(c', ®), ce qui se fait par lune « ou l’autre des formules

BF(c,®)—=3;(1+8)E(c, P)—E(c,p)+2(1—6)sin#, sD'F(c,p)=E(c, p)—(i+e) E(c,® )+esiny; les erreurs sur les fonctions E se trouvent notablement augmentées dans l'expression de F, à cause de la petitesse du diviseur à dans une formule, ou 1 b* dans l’autre ; de sorte qu’on ne pourra se flatter d’obtenir la fonction F avec la même précision que les Tables donnent les fonctions E.