CHAPITRE V

Enfin , dès qu’anë fois on aura déduit des données c, ®, les nouveaux élémens ©, g° ou c', @’, il n’en coûtera gaëre davahiäge pour écütinuét les suites c, c', cd”, étc., et @, @', ®', ell.; jusqu’au troisième terme énviron, comme cela est nécessaire pour obtenir directement une valeür aüsdi approëhée qu’on voudra de la fonction F (c, @), en la déduisant des formules,

ne L. ER ue e ae c'c'e F(e,@)=K log ting (45° 10), K=1/(LS),

où-®' désigne la limite des angles @, @’, 9”, etc.; et dans ce caé, on n’aura aucun besoin de la Table des fonctions E. |

729. Il résulte dé cette discussion que, quoique la fonction F puisse s'exprimer rigoureusement par deux des fonctions É; cependant cette propriélé ne fournit pas des moyens de calcul assez simples pour être employée utilement dans les approximations. 11 en est de même de l’usage qu’on voudrait faire de la formule F=E — c E , où F = E— tangB F , en faisant c— sin 8:

Car, poûr faire l'application dé cètte formulé , it faudrait d’abord ‘étre en possession d’une Table complète des fonctions E, calculée’ pour toutes les valeurs de 8 et de @, de demi-degré en demi-degré; de plus en appelant & la longueur d’un demi-degré,: ou faisant & — = , le coefficient

différentiel devrait être tiré de la formulé a PSE — LE + 4 JE — 2 ME ete. | : AT où les différences successives d'E, d'E, dE, etc., sont relatives à la va riable 8 seule, Mais on voit qu'à cause de la petitesse de «, la valeur de ne serait déterminée en général qu'avec deux décimales de moiñs que id fonction E, et la précision diminuerait encore à mesure que tang @'aug” menterait ; ainsi ce moyen d’approximation que nous avions proposé autrefois , ne saurait être adopté.

730. Ayant écarté plusieurs des moyens qui se présentent naturellement pour construire des Tables propres à faire trouver aisément, dans tous les cas, les valeurs des fonctions elliptiques E et F, l’idée peut venir encore de remplacer une de ces fonctions par une autre qui serait plus facile à réduire en Tables. Telle est, par exemple; la fonction G — f 2 ,

dont la valeur complète , lorsque ® = 4 #, sera + 7 ou 1, selon qu’on fait c — 0 ou c — 1; de sorte que dans les cas intermédiaires cette fonction éprouvera peu de variations , et sera très propre à être réduile en Tables.

Et puisque la fonction F peut être déduite des fonctions E et G, au moyen de l'équation Fi SES +6,

il semble au premier coup d’œil que la fonction G pourrait être substituée avec avantage à la fonction F, au moins dans la partie des Tables de celle-ci qui se prête difficilement aux interpolations, c’est-à-dire lorsque

les angles 8 et @ sont tous deux plus grands que 70 ou 75°. Mais, en examinant la chose avec plus d’attention , on reconnait que la difficulté n’est qu’éludée, et qu’on n’obtiendra pas une plus grande ap-

proximation par ce moyen, parce que si on a, par exemple, =,

l'erreur de E — G se trouvera centuplée dans la valeur de F. Il vaudrait donc tout autant, à mesure que À et ® augmentent aw- delà d’une certaine limite, diminuer le nombre des décimäles qui entrent dans l’expression de F, afin que l’interpolation fût toujours également praticable, mais donnât pour résultat un moindre nombre de chiffres décimaux.

731. Pour donner un exemple de l’usage de nos méthodes, lorsque l'angle du module est peu éloigné de go°, nous joignons ici une Table des fonctions E et F, construite d’après ces méthodes pour le module c = sin 89°. Cette Table, calculée par la même méthode que la Table IE, n’est pas pourvue d’un aussi grand degré de précision, et on ne peut guère compter sur l’exactitude de la dixième décimale ; mais elle pourra être utile, surtout en fournissant des exemples qui serviront à apprécier diverses formules que nous donnerons ci-après pour les cas où le module est très peu différent de l’unité.

0° 00° 0,00000 00000 0.30 0. —h Te 1.00 2 | 1.30 br i | 2.00 0.034 | ___2.30 0, s:03489 gg 3.00 0,05233 3.30 mdr 8 Fe 00 0, 64905 .30 0.07845 g11 -00 his Bet .30 0, 71 6.00 0.10452 AE 6.30 0.113820 328 7-00 0.12186 943 12 0.13052 63059 00 0.13917 32390 8.30 s:4q8e ET es 9-00 3 1 9-30 0. 16504 re 10.00 0.17364 64462 10.30 0. ut 58388 11.00 11.30 0. 919936 56 Ba464 13.00 1 21 12.30 0. pe 0.216044 o14 4 13.00 | 0.22495 16502 13.30 0.23344 60315 14.00 o° 2 26406 .30 0.25038 08322 __15-00 0.25881 99624 15.30 0.267923 0388 16.00 0. 13 84 03 16.30 ge ve ere 17-00 0.29237 30 29 17.30 0. ae 72 18.00 1 8584 = |—B5 3 18.30 … 30 63838 19.00 0.32557 00268 19.30 0.33380 88847 20.00 0.34202 23300 20.30 0.35020 973 21.00 0.35837 ag 21.30 0.366650 ea 22.00 0.373460 ar: