FH

Soit maintenant w—=6 +7, 6 étant un nombre entier de demi-degrés, et y étant << 1. Dans la Table où 8— 6, on prendra par interpolation l’amplitude @ qui répond à n+-x; on prendra de même, par interpolation, les amplitudes @', g”, @"”, etc., qui répondent à r + x, dans les Tables qui ont pour angle du module 6+r,6+2,6<+3, etc.; cela posé, l'amplitude qui répond à la fonction donnée F dont l’angle du module est x, sera exprimée par la valeur

PH (9 — 0) HI (gl 29 +6) HIS (gl 39" +39 —9) etc.

L'opération inverse se ferait d’une manière semblable, mais il est superflu de s’en occuper ici.

737. 11 faut faire voir maintenant comment on pourra former une Table analogue pour les fonctions E : cette Table est d’une exécution moins facile; cependant il se présente encore, pour la construire, des formules assez élégantes et qui méritent d’être remarquées.

Soient, comme ci-dessus, @, ®, @’ trois amplitudes successives telles qu’on ait F(@°)+ F(a)=F(?), F(@)+F(a) = F (9), on aura, suivant

l’art. 34, les deux équations E(@°)+E(a)—E(p) = c*sin & sin @°sin®, E(p)+E(æ)—E(g) = c*sin æsin® sin; d’où l’on tire E(@) — 2E (@) + E (@°)=— c* sin æ sin @ ( sin — sin g°),

ou, ce qui revient au même,

posé de l’entier n et de la fraction æ), tel qu’on ait F =

d'E(g*)=— c* sin æ sin ® (sin @'— sin g*).

Mais on a sing'— sin ®— ain? —® cos °+e, d’ailleurs er = w+? = dp—+d'p, et LE p+: d'?°; donc

d'E(g")=— 20° sin æ& cos(® + 2 d'p°) sin (de — +dg)sing,

86 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, ou en faisant comme ci-dessus + d"®° = — w, d'E(g")=— 20" sin « cos(®—«) sin (d'@ + w) sin @.

J’observe maintenant qu’on a 2sin@ cos(®—æ)=—= sin (29 — &w ) + sin w; mais sinæ=— *sin(29 —«); donc 2sin® cos(®—«)=(1-+#Æ)sin (29 —«);

d'E(@}=— 6° (14 k) sin @ sin (20 —«) sin (d®+w), ou enfin dE (@°) = -- 20 ÿ/k.sin (29 — w) sin (J'® + w). Cette formule est rigoureuse, et elle est réduite à un état de simplicité qui la rend très propre au calcul logarithmique.

738. Aiïnsien même tems qu’on calculera pour la Table des fonctions F, la quantité w qui donne d"°, et ensuite d'@, par la valeur dp=dp° +de’, on aura tous les élémens nécessaires pour calculer J'E@" : on formera donc par cette seule formule, la colonne entière des différences secondes de la fonction E.

On voit que la différence seconde d''Eg*° s’évanouit aux deux limites de la Table, lorsque 9=—0, et lorsque ® —90*; son maximum répond à une amplitude toujours plus petite que 45°.

D’an autre côté, la fonction Ea est facile à déduire des mêmes élémens qui servent à déterminer æ& de manière qu’on ait Fa = + F', et cette fonction Eæ est en même temps la valeur de d'Eo, puisque Eo = 0, et qu’ainsi la différence E& — Eo où J'Eo = Ea. Puis donc qu’on connaît le premier terme de la colonne des différences premiéres, et tous les termes de la colonne des différences secondes, on pourra immédiatement former la colonne entière des différences premières, et ensuite celle des fonctions E, dont le dernier terme devra être égal à la fonction complète E".

739. La méthode que nous venons d’expliquer pour former la Table des fonctions E est d’une simplicité qui ne laisse rien à désirer. Et quand on considère aussi combien est facile la construction de la Table des fonctions F, puisqu’elle ne dépend que d’une seule formule trigonométrique rigoureusement exacte, on serait tenté de croire que celte manière de former des Tables des fonctions F et E, doit être adoptée de préférence à celle que yous avons exposée dans les chapitres précédens. Peut-être que l’exécution dévoilerait encore de nouveaux motifs de préférence ; c’est ce que nous laissons à décider à ceux qui voudront entreprendre le long et utile travail de la construction de ces Tables.

Nous, devons encore observer qu’il sera facile de vérifier aussi souvent