CHAPITRE IX

Réduction de la formule qui exprime la fonction Ee, dans la méthode des modules croissans.

760. LA valeur de Eg que nous avons donnée dans l'exemple précédent, d’après les formules de l’article 89, n’étant pas assez simple pour être employée dans les calculs courans de la seconde des fonctions elliptiques, nous avons cherché une autre formule par laquelle ces calculs fussent réduits au plus grand degré de simplicité dont ils sont susceptibles, et nous y sommes parvenus de la manière suivante :

Après avoir formé la série des modules croissans €, c’, c”... et celle de leurs complémens 8, b', 8"... il faut calculer la suite des amplitudes décroissantes ® , ®’, @"... jusqu'à une limite qui est déterminée, ainsi que celle des modules, par le degré d’exactitude qu’on veut obtenir. Ces amplitudes se calenlent directement par les formules sin (29! — @)=c sin, sin(29"—@'}=c'sing", etc.; mais, quand on est parvenu à celle où le module correspondant c est trop peu différent de l'unité, il convient de remplacer cette formule par l'équation correspondante de la suite tang(@—®')}=l"tang 9",

tang (9° — ®") = b" tang 9", etc., d’où l’on tirera un résultat beaucoup plus exact.

Connaissant ainsi la imite ® de lasuite@,®', ?",etc., que nous supposerons, par exemple, se confondre sensiblement avec le quatrième terme g", on aura la valeur de F@ par l'équation Fp = K log tang (45°+ à ®), dans laquelle le logarithme est hyperbolique ; prenant donc dans les tables le logarithme vulgaire / tag (45° + +®)=H, on aura F9 =KMH ; quant à

la valeur de K , elle est, comme on sait, K= y (: à c'e"c"). 761. Cela posé , la valeur de E pourra être ainsi réprésentée

Eg=L'F + Pe sin ®,

etil s’agit de calculer les deux termes dont elle est composée.

Le premier se trouve facilement par la valeur déjà connue de la foncon F? et par le coeflicient L’ que nous avons déjà réduit à Ja forme la plus simple daus le calcul des fonctions complètes (art. 652); tout se réduit donc à chercher la valeur du second terme Pe sin @. C’est ce que nous obtieudrons par la première forme de la valeur de 4(x) donnée dans l’art. 89; ainsi nous aurons à réduire la formule

» 2H sin @“ dr s __ 4 à + 261 sing# TT!

Psion g = Dore.) nQ— sing — 77 sing". Ve)

Pour ceteflet, soit ®—@'=0&, g — g'=u", g"— g"=w",etc., on aura les # “ [A .\ équations Lang &'=b' tang ', tang &"= L" tang ®", etc. ; la première donne

# sin @= sin (g+e)= (1 +8) sin g cos = < sin g’ cos &’, et on en

| | Ve déduit successivement … Ve sin? m V£ sing’ c C4 sin ?

sin = ES nl De, sin = + ° EE RE EEE Lé c ‘ cosa ? à €" ‘ cosa” c €" ‘ cos’ cos æ" ? sing"= CRE LA 1 etc et € * € * cos e’ cos &" cos #" ? :

Substituant ces valeurs dans celle de P siu ®, et faisant, pour abréger, c cos w=r, c" cos a" =7r", etc., on aura

L 2 Jus À gui = = | — os — —, rr'r rt id rr rr rt

Cette formule peut donner tel degré d’approximation qu’ou voudra , mais il convient d'examiner successivement les différens cas qui peuvent se rencontrer dans les applications.