CHAPITRE XII

el comme ® désigne la limite des quantités @, 2, 2 etc., laquelle peut

ä être censée égale au cinquième terme, on aura D=r[m—3+ 20% sin 23 (1 — 3 c°% cos 23 )]; ainsi z étant déjà connu , il suflira d’ajouter à # — z la petite correction 1 c% sin 22 (1— 5 c** cos 2z) et de diviser le tout par 4, pour avoir la valeur de ®, au moyen de laquelle on trouve Fo = K® = R Fe. 3:

Connaissant F@, on connaîtra la partie LF@ qui entre dans la valeur de Eg ; quant à la seconde partie Pc sin @, elle se trouvera d’une manière très simple par la formule

° : c°\4 55 fe°\t à feyie Pesing=sep/c|: +( —— 3 (à) +:( J où il faut observer que le premier terme 3 cÿ/c* = :(1—6), se trouvera immédiatement par la Table des sinus naturels à 15 décimales, comprise dans la Trig. Brit., si toutefois l’angle du module 8 s'exprime exactement en degrés et centièmes de degré.

809. Pour vérifier cette valeur de Pc sin ®, il faut, dans la formule générale Pesin® = :ey/c°sm@° (1+ + c° cos®° + 7 c°c°° cos Q° cos p°° + etc. ), substituer les valeurs cos 4° = ©, sin g° = ET ce qui donne d'abord Pc sin = — A . EC +: ce Le°*c°° cos e°° ice co coss°° Cose°°° ete. }; ensuite pour avoir l'expression des quantités cos w°*, cos w°*, je reprends

= les équations tang «° = b° tang @°, g" = q° + a, tanga° = sabés tang «°° — b" tang ?*, j'en déduis successivement nee tang g* + tang «° (G+6)e ange" = tang@°® tang æ# c— 4h ?

bec (1 +b°) __ 20°4/b° DGA ne D)

CO be tango = VE = tango. |/37, cos &°° STE 6)

en continuant cette analyse, on trouvera

coe ge — tang* a” tang + w°* = lang w° 5 cos © Bang a ?

0008 060 = RE; tang + °°° —=tang w A/ gs 008 a = Dep tang e ?

ainsi à l’infini. On voit donc que dans le cas dont il s’agit, les quantités w, w°, w°®, w°%, etc., se calculent facilement; savoir, la première an moyen de l'équation tang w = b, la seconde au moyen de l’une des équa-

tions tang &° =° , Sin w°—= À, cos w° = c°, tang+ w°=tang o.1/; = yb,

tang + &°*° = lang a. 1/55, tang + °° = lang æ°%, + , etc., ce qui offre des formules assez remarquables pour le cas où l’on a @ — 45°.

Maintenant qu’on connaît les valeurs de eos æ°° et cos °°, si on les substitue dans l'expression de Pc sin @, et qu’on y substitue également les expressions connues de c** en c°, et de c*** en c®, on aura, en développant ces quantités jusqu’à la dixième puissance de c* inclusivement, l’expression que nous avous rapportée du terme Pc sin @, laquelle est très facile à calculer, et donne au moins r2 décimales exactes, tant que l'angle du module ne surpasse pas sin 45°.

C’est par ces formules qu’on a calculé les fonctions F (45°), E (45°) de la Table VIII, pour toutes les valeurs de angle du module de 0° à 45°; audelà de cette limite, on a fuit usage de la méthode des modules croissans , art. 762, laquelle ne présente, pour le cas de @ = 45°, aucune formule remarquable , si ce n’est pour déterminer @', l'équation sin 49° = &*.

810. Nous allons maintenant expliquer avec détail les différens procédés que nous avons suivis dans la construction de la Table IX, et nous prendrons d’abord pour exemple le calcul d’une Table particulière des fonctions E.

Soit « l'arc d’un degré, Ua 5; sitw=@p+1laæ,e......... (1 — c* sin* w)= A (w); si on prend l’auxiliaire p = æAw, on aura en général pour construire la Table des fonctions E, la formule

dE= p + D. d'po — En d'p®® + etc.

On calculera donc pour les valeurs successives ® — 0°, 1°, 2°, 5°, etc., les valeurs correspondantes de l’auxiliaire p; on observera de plus que la valeur p pour @ = — 1° serait la même que pour @ = 0°; on placera donc deux fois cette première valeur de p, l’une sur la ligne deg = 0, l’autre sur la ligne supérieure, ce qui sera nécessaire pour former cette

ligne où l’on doit trouver la différence seconde d'p° qui entre dans la première valeur de JE, celle qui répond à @ = o.