CHAPITRE Xll. i6i

de calculer ces différences avec deux décimales de plus , ce qui fait perdre tout l'avantage qu'on pouvait en attendre; et si on n'augmente pas le nombre des décimales, il faut vérifier les résultats de distance en distance, puis corriger les nombres intermédiaires, suivant un mode de répartition qui est plus ou moins arbitraire.

Cet inconvénient qu'on a pu remarquer dans l'art. 722, n'a pas lieu dans la première mélliode , ainsi que nous nous en sommes assuré par un grand nombre d'essais, et cette raison suffit pour lui donner la préférence. Mais, comme on n'a pas de tables usuelles qui passent dix décimales, ii serait trop difficile de calculer les fonctions avec douze décimales, comme nous l'avons fait dans la Table II , et il faut se borner à les calculer avec neuf ou dix décimales, ce qui au reste est plus que suffisant pour Fusage ordinaire.

806. Notre cboix étant ainsi fixé sur la première méthode que nous avons nommée Méthode des ordonnées moyennes , nous aurions désiré pouvoir construire , pour tous les angles du module, de .demi-degré en demi-degré, des Tables particulières semblables à la Table II, mais calculées à dix décimales seulement; la réunion de toutes ces tables, sans y comprendre les différences qui n'y pourraient entrer qu'au premier ordre et en amenant beaucoup de confusion , aurait formé, sous un assez petit volume, une table à double entrée d'une étendue suffisante pour satisfaire à toutes les applications où il s'agit de calculer les fonctions E et F pour des valeurs données de l'amplitude et de l'angle du module. Mais l'extrême longueur d'un pareil travail ne nous a pas permis de l'entreprendre, et nous nous sommes proposé seulement de calculer une Table semblable pour tous les degrés de l'amplitude et de l'angle du module. Cette tâche encore bien pénible a été heureusement conduite à son terme, et la Table IX qui en est résultée pourra satisfaire encore long-temps aux besoins des Géomètres ; d'ailleurs elle fournira des bases certaines et bien vérifiées à ceux qui enti^prendraient de calculer une Table semblable d'une plus grande étendue et procédant par de plus petits intervalles.

807. Pour faciliter la construction des Tables particulières qui composent la Table IX, il était nécessaire de calculer d'avance et avec beaucoup de précision , les fonctions F et E pour l'amplitude de 4^* ^^ pour celle de off. C'est pour ce double objet que la Table YIII a été construite : nous aurions pu n'y pas comprendre les fonctions ayant 90^ d'amplitude, puisque leurs logarithmes sont donnés avec douze décimales dans la Table I;

i62 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

mais la réunion des deux séries a procuré une facilité de plus pour la construction de la Table générale et ne peut manquer d'avoir son utilité dans d'autres occasions.

Nous remarquerons ici que les formules générales pour le calcul des fonctions E et F , se simplifient assez notablement dans le cas d'une amplitude de 4^^, ce qui a facilité beaucoup la construction de la Table YIII. Rappelons d'abord que les formules pour calculer les fonctions F et E^ sont en général F^ = K9 , E^ =3 LF^ -f- Pc sin (p. D'ailleurs la valeur de P se forme au moyen des équations û> = ç" — ^, e»^ ss ^^ — ^®, etc. ,

tang cû s=z b tang Çy tang o)^ = b^ lang (p^, etc. ^ r=ic cos o$y /^ =

<f cos e»^y etc. , d'où l'on déduit

P = ir+ir/^+| rr^r^ + etc.

808. Voyons maintenant ce qui résulte de la supposition ^ =r 45^. Alors les équations sin ( 2^ — ^®) = c° sin ^° , tang »** = b^ tang ^® , donnent

tang <p^ = -^9 tang â>^ = -^, et de celle-ci on déduit encore sin £»^ = ^,

cos û>^ = c^ ; ainsi on aura à la fois cot ^® = c^ et cos al^ ssz c^^ la première donne la valeur de (p^ et la seconde celle de e»^ j on connaîtra ainsi ^00 s= ^o ^ ^o^ Dans le cas où c^ est suffisamment petit , il conviendra de calculer ç^ par la suite

iTT — (p^=o°— .^c^ + |c**5 — ic"'+ etc. ,

ou pour abréger

iTT — <p° = (i)-(a) + (5)-(4) + elc.,

et on aura en même temps

>- «o = (1) + t (2) + i^ (3) H- I^ (4)+ etc.

Soit z la somme des seconds membres de ces deux équations, on aura ^ — (p^=zz on (p^ =:^ — z.

Connaissant ainsi Ç^ et ^^ , il sera fiicile d'avoir ^^^^ par l'équation tang «^ = b^ tang Ç®*, ou par la série

^000 3^00 ^000 jjn 3^oo ^ ^ (c9^y sin 4(p« — etc. ,

dont il suffit de calculer les trois premiers termes ; on aura de même . , ^0000 ... ^^000 — ^•••o g^ 2^^^. Il résulte de ces deux équations , où Ton

peut supposer c*^* = (7 c**^ )' :

^ç***^ = 5r— « + «5 c'^sin m(i — |c*^ cos m) j