CHAPITRE XII. i

et comme <t désigne la limite des quantités ^, ~, ^, etc. /laquelle peut

are censée égale au cinquième terme, on aura

0= J [tt — js + ic^^sinaz (i — |c*''*cosa2)]j

ainsi z étant déjà connu , il suffira d'ajouter à "tc — z la petite correction j cf** an :az ( I — J €?••• cos az) et de diviser le tout par 4, pour avoir la

valeur de 9, au moyen de laquelle ou trouve F^ = K9 = ;— .F'c.

Connaissant F^ , on connaîtra la partie LF^ qui entre dans la valeur de £9 9 quant à la seconde partie Pc sin (p, elle se trouvera d'une manière très simple par la formule

OÙ il fout observer que le premier terme î cx/c*" = 1(1— 4)^ se trouvera inunédiatement par la Table des sinus naturels à i5 décimales, comprise dans la Trig, Brit,j si toutefois l'angle du module 6 s'ezprime exactement en degrés et centièmes de degré.

80g. Pour vérifier cette valeur de Vc sin <p , il faut, dans )a formule générale Pcsin^ = ïCV^c^sin^* (ï + ï c'cos^'-|-4cV*cos^®cos^*^ + etc.),

substituer les valeurs cos «• = £?**, sin ^* = 777737^ > ^^ V^ donne d'abord

Pcgin»= y/^!/\»N(' +ïC«* + ic**c«°cos#^ + Jc<»»c«*> c»*» cos-»'»» co8#«*»» +etc);

ensuite pour avoir l'expression des quantités cos â>'*, cos û>»**, je reprends

les équations tang «• = 4* tang ^** , ^•^ = ^* + û>» , tangû)* = -,

tang »•• = A** tang ^•^ , j'en déduis successivement

""er 1 — teng ^o tang •" c»» — A" '

tang «- = -j^sT^^j^ = ^^rziF' en continuant cette analyse, on trouvera

f x^ b^ — tang* m^

tang i ••- = lang «~ Y ï^ ' *=°* '^ = Â^M^^^ ' tang i «•- = tang ««^y ^, cos «-- = ^.0.^^^,... 5

ai..

i64 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

ainsi à Finfini. On voit donc que dans le cas dont il s'agît , les quantités ^, û)*, cù^^f 0)*^, etc., se calculent facilement; savoir, la première an moyen de l'ëquation tang o» = 6, la seconde au moyen de l'une des équa-

tions Ung û)* = - , sin «•ssi^, cos »• = c* , lang^ û>*»= tang œ . t/ j = /i , les suivantes au moyen des équations tang ^ ai** = tang «® • t/p = -î^ ,

tang i «•- = tang «••. y/^^^ , tang ± ûi<>^ = tang m^^ . y/^ , etc. , ce

qui offre des formules assez remarquables pour le cas oh l'on a ^ = 45"*.

Maintenant qu'on connaît les valeurs de cos «•• et cos »•**• , si on les substitue dans l'expression de Pc sin ^, et qu'on y substitue également les expressions connues de c** en c** , et de c*'* en c^ , on aura , en développant ces quantités jusqu'à la dixième puissance de c* inclusivement, l'expression que nous avons rapportée du terme Pc sin ^, laquelle est très facile à calculer, et donne au moins 12 décimales exactes, tant que l'angle du module ne surpasse pas sin ^5^.

C'est par ces formules qu'on a calculé les fonctions F (4^"*) y E (4^*) de la Table YIII, pour toutes les valeurs de l'angle du module de o"" à 4^*9 audelà de cette limite , on a fait usage de la méthode des modules croissans , art. 762, laquelle ne présente, pour le cas de 9 = 4^*, aucune formule remarquable , si ce n'est pour déterminer ^' , l'équation sin 4^' = ^-

810. Nous allons maintenant expliquer avec détail les différens procédés que nous avons suivis dans la construction de la Table IX , et nous pren^ drons d'abord pour exemple le calcul d'une Table particulière des fonctions E.

Soit a l'arc d'un degré , ou a = -g- ; soit â> = Ç+-ïtf, et

V^( I — c* sin* ») =s A (ai) ; si on prend l'auxiliaire p = aAoi, on aura en général pour construire la Table des fonctions E , la formule

cTE = p + ^ cry> - gi^ cT*;," -f. etc.

On calculera donc pour les valeurs successives ^=:o®, 1^, a®, 3®, etc., les valeurs correspondantes de l'auxiliaire p; on observera de plus que la valeur p pour ^ = — i^ serait la même que pour ^ = o^; on placera donc deux fois cette première valeur de p^ l'une sur la ligne de ^ = o , l'autre sur la ligne supérieure , ce qui sera nécessaire pour fermer cette ligne où l'on doit trouver la différence seconde J^^p^ qui entre dans la première valeur de J^E, celle qui répond à ^ = o.