CHAPITRE XII

A mesure qu'on aura calculé une valeur de p , cette valeur servira à ajouter un ternie de ))lus aux colonnes des différences dans les lignes supérieures. Au commencement de la Table et même jusqu'à des termes assez éloignés tels que (p = 4^"* ou Se"*, il suilira de prendre les deux premiers termes de la valeur de J^E , savoir : cTE = ^ + ^ J^^« j car nous supposons constamment que les valeurs de p sont calculées avec dix décimales , et qu'on en conserve neuf seulement dans les valeurs de «TE.

Lorsque par le progrcs de l'opération , on reconnaîtra que le troisième terme — j^s J^/^*'* peut influer sur la dernière décimale de J^E, il faudra tenir compte de ce terme. Mais alors on devra ajouter un terme de plus à la colonne des p ^ ce terme qui répond à ^ -|- 0t étant nécessaire pour avoir la différence J^/?'*'' qui entre dans la valeur de /£. Jamais on n'aura besoin de calculer un terme de pTus de la formule.

Les mêmes procédés s'appliquent au calcul des fonctions F, avec cette

seule différence, que l'auxiliaire P a pour valeur— ; ainsi le logarithme connu de Aâ> servira à calculer à la fois les deux auxiliaires p = àÊ^cù , P = ^. Il faut observer seulement que les différences croissant plus rapidement dans la Table des fonctions F, il faudra beaucoup plus tôt faire entrer le troisième terme de la formule dans la valeur de cTF.

En formant la colonne des différences cTE et J^F, réduite à neuf décimales, il sera bon de Ëiire une marque particulière aux termes dont la dernière décimale n'est exacte qu'à ; ou au moins ^ d'unité prés. Cette Biarque sera utile pour faire sur la table les légères corrections qui seraient indiquées par la différence qu'on pourra trouver entre les fonctions données par la Table pour les amplitudes de ^5^ et 90^, et celles qui auront été calculées d'avance par la méthode directe.

81 1. 11 ne reste plus qu'à faire voir comment on doit calculer le loga* rithme de Ao). Au commencement de la Table et jusqu'à une limite assez éloignée, faites sin A = ^ sino); appelez a l'angle qui, dans la Table à dix dédmales, approche le plus de A, et soit la différence / sin A — / sin a=/*j vous aurez avec une exactitude suffisante l cos A , ou

log A = log cos a — r tang* a ,

et l'on voit que la correction r tang* a n'a pas besoin d'être calculée avec beaucoup de précision , tant que l'angle a sera d'un petit nombre de degrés.

t«6 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

LorM{ue ]'angle a approchera de 4^'' , on pourra faire plus exactement 1(^ A = / cos a -— R; log R = log (r tang' a)-}' r + r tang* a.

Si l'on avait /ùnAss/sinâ— -r, il faudrait faire log A =/cosii + R, log R = log (r tang' a) — r^^ r tang* a.

Lorsque l'angle a sera plus grand que 4^'' j la correction R devenant plus grande que r, les erreurs se multiplieraient par la formule précédente, et il faut lui en substituer une autre. On mettra alors la valeur de A sous

/ C^ COs' tf \ M • C CAS M

cette forme, A = it/f i + — -n — ) , et faisant tang A s= — ^ on aura . .

A = — T . Soit a l'angle de la Table qui approche le plus de l'angle A dont on connaît la tangente , et soit / tang A = / tang ^ -f« r ; on aura

l cos A = / cos a — r sin* a ( i + Mr cos* a), ou si l'on £Bdt / cos A = / cos a — R , on aura

/R = / (r sin* a)'\'r'^r sin* a , ensuite 1(^ A = log -f" R.

Cette formule , dont le calcul est aussi facile qu'il est possible , ne laisse rien à désirer , et pourrait même servir dans toute l'étendue de la Table sans exception ; mais le calcul de la première est plus simple , tant que c sin âp est ^ sin /^S"".

Si l'on avait / tang A = / tang a — r, la formule deviendrait

logR = log (rsin'a) — r+r sin'a, log A = log ^ — -^ — R.

Connaissant A pour une valeur déterminée de a», on connaîtra à la fois

^ ëÊ. —

les deux auxiliaires p = 0tA , P = — , Tune pour la Table des fonctions E,

Tautre pour celle des fonctions F. Ces auxiliaires devront être placées chacune sur la même ligne que la valeur de 9, d'où elles sont déduites, en faisant û) = ^ + 7Ct; on y joindra leurs dififérences successives continuées jusqu'à l'ordre où les différences de l'ordre suivant seraient négligeables ou fort inégales. On en déduira ensuite les valeurs de J^E et de J^F, suivant les formules que nous avons rapportées.