CHAPITRE XIV

Des précautions prises pour assurer t exactitude des résultats

dans le calcul de la Table IX.

81 8. XL faut maintenant faire voir quelles précautions ont été prises pour assurer, autant qu'il est possible, l'exactitude des résultats à mesure que l'angle du module devient plus grand et se rapproche de 90*.

Tant que cet angle 0 ne surpasse pas 80® , le calcul des fonctions F peut se faire par la formule

mais les derniers termes de chaque table particulière , ceux qui répondent à des amplitudes voisines de 90^ , ont besoin d'une correction très petite et &âle à déterminer. Cette correction est due au terme suivant de la

série, lequel est + -ri (-} cT^P***, et la somme de tous les termes semblables est •+• -Tg \j-\ ( J^^P^ — const. ) , où la constante est une des valeurs précédentes de cT'P** assez petite pour être négligée.

Il suit de là qu'après avoir formé la série des valeurs de la fonction F, par exemple , depuis ^ =: 70® jusqu'à (p = 90^ ^ il faut ajouter pour dernière correction, à chaque valeur de F, la quantité correspondante

367 /iV«> nBo„ . cT^poo

iP W ^^ ^^ '""^''^^ 563^- La différence J^'P^ est sur la même ligne que J^^P* qui est entrée dans le calcul de J^F , d'où l'on déduit F' = F + <^F; &ÎDsi cette correction se trouve très simplement en ajoutant une colonne des différences cinquièmes de l'auxiliaire , vers les derniers termes de la Table et seulement à compter du point où la différence cinquième commence à approcher de 2637 unités décimales du dixième ordre.

igS CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

Il est remarquable que pour le dernier terme de la Table F (90*) ou F*, la quantité J^^P**, et par conséquent la correction qui en dépend, est nulle. Car en faisant <p = 89® ,

les valeurs successives 87% 88% 89% 90% 91% 92%

répondent terme a ternie aux auxiliaires.... P*% P' , P , P', P", P"'; or, onacn général . • cT^P- = P"' — 5P" + loF— loP + 5P« — P>% et en particulier , lorsque ?) = 89^ , on a F = P, P"= P , P'" = P^^ ; donc cT^P** = o.

819- Ce que nous venons de dire du calcul des fonctions F s'applique au calcul des fonctions E , d'autant mieux que la correction due aux cinquièmes différences de l'auxiliaire , n'est ])as sensible pour les fonctions £, tant que 8 ne surpasse pas 80®. En eifet, les différences de l'auxiliaire sont beaucoup plus petites^ vers la fm de la table (la seule sujette a difficulté), pour les fonctions E que pour les fonctions F ; et tandis que la métliode générale ne peut guère s'appliquer saus modification , autre que la correction dont nous avons parlé , que jusqu'à 0 = 80* , pour le calcul des fonctions F ; cette même métbode pourrait s'ap[>liquer , avec une semblable correction, jusqu'à 87^ ou 88* pour le calcul des fonctions E.

Passé le terme 0 = 80'' , nous avons fait le calcul des derniers termes de cbaque table particulière^ en faisant varier l'amplitude d'un demidegré seulement, et le nombre de ces termes a été augmenté progressivement , à mesure que 8 est devenu plus grand ; de sorte que pour 6 =s 88^, on a commencé depuis ^ = 60". Cet expédient réussit complètement et dans toute l'étendue de la Table , pour le calcul des fonctions E ; mais il devient encore insuffisant pour le calcul des dernières valeurs de la fonction F ; savoir , de celles dont l'amplitude approche beaucoup de 90*". 11 ne reste pour celles-ci d'autre ressource que de les calculer directement par les formules générales d'approximation ; c'est ce qu'on a fait pour fl = 86*, 87^ et 88% depuis (p = 85% jusqu'à ^ = 8q\ Il n'y a eu aucun nouveau calcul à faire pour les angles du module 89* et 90*, puisque les résultats sont déjà connus par la Table du n^ 7^1 9 pour le premier de ces angles, et par les Tables 111 et IV pour le dernier. Ainsi, à Fezception du petit nombre de termes qu'il a fallu calculer directement pour la fonction F seulement, tous les résultats contenus dans la Table IX ont été déduits de la méthode des ordonnées moyennes, dont l'usage ne saurait être trop recommandé dans les calculs de quadrature qui exigent un grand degré de précision.