CHAPITRE XIV. ig
8ao. Ayant expliqué comment les difliciiltés de calcul ont été vaincues dans la construction de la seconde partie de la Table, pour les angles du module plus grands que 4^^ 9 ^^ surtout pour ceux qui approchent de 90^, il ne nous reste que peu de choses à dire sur le calcul de la première partie de la Table , depuis fl := o* , jusqu'à ô = 45°. Dans celle-ci, lapplication de la méthode générale s'est faite sans aucune modification , dans toute l'étendue de chaque table particulière, même pour les valeurs de l'amplitude ^, très rapprochées de 90*". On est d'ailleurs parvenu à abréger notablement les calculs pour les petites valeurs de ô, en déter* minant l'auxiliaire de chaque fonction par une série très convergente. Pour cet eflet, soit sin* 9 sin* â> = r, l'auxiliaire pour la fonction F sera
P = ct(i--r)-^=«H-l«r + i^«;- + i^ar3 + etc.
Le premier terme de cette suite et = -g- = 0,01745 SagaSa ; si l'on désigne les termes suivans par (i), (2), (3), etc., en sorte qu'on ait
ces termes se déduiront facilement les uns des autres, et on aura en même temps l'auxiliaire pour la fonction E, savoir :
or^ sans passer le terme (4)9 on obtiendra, par ces suites, dix décimales exactes, pour toutes les valeurs de ^, si fl n'est que de quelques degrés, et pour un nombre plus ou moins grand de valeurs de ^ , lorsque fi sera plus grand.
8a I. Ces calculs étant faits constamment avec dix décimales, le résultat des 45 premières opérations , qui donne les fonctions E et F pour l'am* plilude ^== 45°, s'est toujours trouvé d'accord avec la Table VIII, soit exactement, soit à la différence d'un très petit nombre d'unités décimales du lo* ordre, nombre qui est allé rarement jusqu'à 4 et qui n'a pas le plus souvent passé 2. ( On ne parle pas ici des 'grandes erreurs qui sont presque inévitables dans de si longs calculs , et que l'on découvre immédiatement par la comparaison avec la Table VIII). Pour faire disparattre cette diflférence, voici le moyen qu'on a employé : supposons qu'il y ait trois unités décimales du 10* ordre à ajouter à la fonction trouvée parle calcul, pour la faire coïncider avec le résultat de la Table VIII j il faudra examiner la dernière série des différences (c'est ordinairement la qua-
trième ) , et noter les endroits où elles sont le plus irrëgulières. On choisira trois de ces endroits , et on verra quelles sont les différences correspondantes du I*' ordre qui , ëtant augmentées chacune d'une unité, rendraient plus uniforme la dernière série des différences. Un peu d'exercice suffit pour apercevoir d'un coup-d'œil celles des différences premières qui satisfont le mieux a cette condition. Corrigeant donc la série des (onctions, d'après celle des différences premières , on aura une nouvelle série de 4^ nombres dont les différences marcheront d'une manière plus régulière , et dont le dernier terme s'accordera entièrement avec le résultat exact contenu dans la Table YIII. La même marche et le même mode de coiTCCtion ont été également employés dans le calcul de la seconde partie de la Table, depuis (p = 45* jusqu'à (p = 90°.
822. L'expérience nous ayant ainsi dirigé dans le calcul des différentes Tables particulières qui ont servi à composer la Table IX , nous avons pensé que tous les résultats devaient être exacts, à une ou deux unités près du dernier chiffre décimal. C'est pourquoi nous avons conservé dix décimales dans toute l'étendue de la première partie de la Table IX, depuis 0 =s 0, jusqu'à 8= 4^^* ^^ aurait pu conserver la dixième décimale bien loin encore au-delà de cette limite ; mais les calculs de la seconde partie étaient déjà faits , dans le dessein d'obtenir neuf décimales exactes seulement , et d'ailleurs les grandes variations qu'éprouvent les fonctions E et Fj lorsque l'amplitude et l'angle du module s'approchent tous les deux de go°, ne permettent pas de prétendre à l'exactitude de la dixième décimale dans leur détermination , à moins de calculer les auxiliaires avec une ou deux décimales de plus, ce qui aurait augmente considérablement la longueur et la difficulté du travail.
