CHAPITRE XV. ao

Par le moyeo de ces termes on trouvera comme ci-dessus les différences succesnves de la fonction A, savoir:

^ = 32760157, ^ = ai55o8, ^= 585i, ^ = a84 3863, ^ = 8348 , ^ = - 388o.

jj^=: 305719, f^= I i56i, j^.= 2895.

On a d'ailleurs dans cet exemple a: = 0.54693271 1 , ^ = 0.07; substituant toutes ces valeurs dans la formule générale , on aura

Par les seules différences du premier ordre, F = 1.00738 90298 Correction due aux diflferences du deuxième ordre, — i 91734

Correction due aux différences du troisième ordre, — 19

Donc par les trois ordres de différences, F = i .00736 98545.

827. Comme la valeur de ^ a été prise de manière que F^ = jF', ce résultat peut être vériâé par la Table des fonctions complètes d'où l'on déduit F' = 3.01473 97308, et par conséquent F^= 1.00736 98654; ainsi on voit que la valeur trouvée pour F par l'interpolation, est en erreur d'une unité décimale du huitième ordre, erreur assez légère sans doute; mais ce qui est remarquable , c'est que la correction due aux troisièmes différences n'a fait que rendre un peu plus défectueux le résultat des secondes différences. Pour expliquer cette espèce de paradoxe , on a eu recours aux différences quatrièmes qu'on a obtenues en ajoutant un terme de plus aux lignes des donniées tirées delà table; on a trouvé ainsi :

^A Q iNA . J4A ,/ J^A ^ ^A

j^=— 183, j^j=499» Jip7î:=44o, 7^=— 226, jj5- = — mo,

œ qui donne -f-i65 pour la correction due aux quatrièmes différences, et pour la valeur corrigée F =s i • 00736 987 1 o. De cette manière l'erreur n'est plus que de 5 ou 6 unités décimales du neuvième rang; c'est tout le degré d'exactitude qu'on peut obtenir d'une Table dans laquelle les nombres ne peuvent être tout-à-fait exempts d'erreur dans le dernier chiffre décimal.

Au reste, si la correction -f- i65 qu'on a tirée dans cet exemple des quatrièmes différences , est plus grande que la correction — - 19 due aux troisièmes différences , contre la loi générale , celte anomalie est due à

ce que la difierence première -jr parvient presque à son maximum^ dans

une des données tirées de la Table; cette circonstance rend les différences secondes irrégulières et plus petites dans un certain intervalle que les différences troisièmes. Mais il demeure toujours constant que jamais on n'aura besoin des différences quatrièmes y qui compliqueraient beaucoup les calculs d'interpolation , et que même il est assez inutile dans la plupart des cas de tenir compte des différences troisièmes, ainsi que nous l'avons déjà dit.

828. Soit proposé maintenant de trouver dans le même exemple la valeur de la fonction E(p : on prendra dans la Table IX les données nécessaires pour former les différences jusqu'au troisième ordre comme il suit :

Jl en résulte les valeurs suivantes des différences

-Jg:= I 5896, -JjjJ

Substituant ces valeurs dans la formule générale ^ on a par les premières

différences E = o.84o33 3731 1

Correction des secondes différences -f- i 0491a

La vraie valeur se déduira de l'équation nE^. — E*= i — i=

o.4i3ao 358685 3 or par la Table II on a logE* = 0.10294 284108a, E» 5=3 1.26748 5o57o5, donc E^ =5 o.84o34 45 119; ainsi Terreur n'est

Correction des troisièmes différences.