CHAPITRE XVI. ai

On voit que cette valeur ne diffère de celle qu'on a déjà trouvée que de quatre unités décimales du vingt-unième ordre , ce qui confirme pleinement tous ces calculs.

858. Connaissant ainsi les fonctions complètes, si on se propose de déterminer avec un pareil degré d'exactitude les fonctions E^, F^, pour une amplitude donnée ^, le calcul présentera de plus grandes difficultés, parce que les Tables connues de log. sinus ne passent pas quatorze décimales, au lieu que les logarithmes des nombres jusqu'à i loo, sont donnés avec un beaucoup plus grand nombre de décimales par la Table de Sharp ^ et se trouvent dans plusieurs autres recueils, ce qui permet de suppléer aux limites des Tables, en employant des réductions et des artifices de calcul tels que ceux dont nous avons donné des exemples. Voici, au reste, quelle serait la marche qu'on pourrait suivre, si on entreprenait de sem* blables calculs.

Supposons qu'étant donnée la valeur de ^, on veuille déterminer, avec vingt décimales exactes, la fonction F^ ou son logarithme, il faudra commencer par chercher, avec une semblable précision, la valeur de tang ^ ou celle de son logarithme, c'est ce qu'on trouvera par les formules connues dans la théorie des fonctions angulaires. Ensuite il faudra procéder au calcul des angles croissans ^°, ^°*', ^•°^, etc., où à celui des angles décroissans ^', ^\ ^"\ etc. , selon que le module sera plus petit ou plus grand que sin 45^.

Dans le premier cas, pour déterminer ^* par le moyen de ^, on ne doit plus employer l'équation succincte tang (^^— - ^) = & tang ^ qui suppose l'usage des tables de sinus, mais il faudra déterminer simplement la valeur numérique de tang ^^ par la formule

On aura soin cependant de noter la valeur approchée de ^°, en degrés et minutes seulement, afin de ne pas confondre le véritable arc ^'^ dont on a besoin, avec les autres arcs qui peuvent avoir la même tangente; on se rappellera pour cet effet , qu'en vertu de l'équation sin (a^ — ^•) = c* sin ^'j la valeur de 2^ — ^** doit toujours être contenue entre les limites fi* et — fr', 6* étant le plus petit arc qui a pour sinus c*.

On connaît déjà / tang(p, on connaît ^i+ô)= -^^l^- , ainsi pour

avoir / tang ^°, il faut faire b lang*^ =A, et du logarithme connu de A déduire celui de i — A , ce qui se fait par les formules dont nous avons donné beaucoup d'exemples.

3i4 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

Il est visible maintenant qu'un semblable calcul servira à déduire ^^"^ de Ç*, et ainsi de suite. On continuera donc le calcul des amplitudes croissantes 9*9 9^% 9*^% ^^^' 9 jusqu'à la limite où un terme ne diffère plus sensiblement du double du précédent j cette limite aura lieu lorsque le b correspondant au dernier (p pourra être pris pour l'unité; dans l'exemple précédent, c'était &°**. Ainsi, lorsqu'on voudra avoir vingt décimales exactes et que c ne surpassera pas sin 4^^? il ^^ faudra pas prolonger la suite ^*, 9**, etc., audelà du quatrième terme çl^'^j et pour des modules au<-dessous de sin aô'y il suffirait d'aller jusqu'à ^*^.

Connaissant tang ^''^^^ et sacliant toujours d'avance, à très peu près, combien l'arc ^^ contient de degrés et de minutes, il restera à trouver l'arc lui-même qui répond à cette tangente, c'est ce qu'on trouvera par les formules qui ont servi à trouver tang ^ par le moyen de <p.

L'angle ^"^^^ étant connu et réduit en parties du rayon, on fera 0=r-J^'*°"'*, et on aura la fonction cherchée F^ = K^. L'application de la même formule, répétée quatre fois consécutives , suffira donc pour obtenir vingl décimales exactes; on en obtiendrait le double avec un terme de plus, mais alors il faur* drait calculer aussi, avec quarante décimales, les logarithmes des modules et ceux des différentes tangentes, ce qui serait un travail presque insurmontable.

659. La même méthode peut être suivie, quand même l'angle du module s'élèverait jusqu'à 70 ou 75 degrés; mais, passé cette limite, il est préférable de suivre la méthode des modules croissans.

Ayant donc calculé les termes de l'échelle des modules d'où se déduisent les fonctions complètes E'c, F*c, on procédera au calcul des amplitudes décroissantes ç\ ^'', etc. , de la manière suivante :

Il faudra d'abord tirer la valeur de tang ^' de l'équation • . • . •

tang <P = ^ , ly \lll-Y > ^aq"e"e donne

cot (p'= i±^' cot (p + ^[(i±^Jcof(p + aQ;

et comme on a 1 + A' = -~ = -j-, la valeur de tang ^' pourra être mise

sous cette forme

tanfi(D'=î^ ^^°g^

«mg«p j- . ,^ ^(, +^«tang-«)'

Mais , lorsque b sera très petit , on pourra substituer à cette formule la suite fort convergente.