CHAPITRE XVr

On déduira semblablemeDt tang q>" de tang (p'j tang ^''' de tang (p"j etc.; d'ailleurs on voit que la suite ^', q/\ ^'"^ etc., va toujours en diminuant jusqu'à une limite qu'elle ne tarde pas à atteindre sensiblement.

Appelant donc <b le dernier terme de la suite ^, ^', ^", etc., on aura en logarithmes hyperboliques F^= K log tang (45''+ î^) > ou en logarithmes vulgaires

F<p = RM log tang(45°+ i<t)= RM log [(tang * + v/(i +tang*<t)]

84o. Pour avoir dans le même cas la valeur de la fonction £^, il faut recourir aux formules de l'art. 763 qui peuvent donner tel degré d'approximation qu'on voudra. Si on se borne à 20 décimales, le quarré de V'^' sera toujours négligeable, même en supposant l'angle du module peu au-dessus de 4^°; on

pourra donc supposer c""= i , et faisant Pssb-^-?-;^ , — i , on aura E^=:

L'F^ +Pc sin (p. Dans beaucoup de cas, on pourra faire c"'=: i , alors on

aurait simplement P = -rv. — i • Quant aux valeurs de cos «', cos û>*, cos^'",

par lesquelles on a r' = c' cos &>', /^'=c*cosû)", r'"=^c"' cos où'" ^ elles se calculeront sans connaître la valeur en degrés des angles <», par les formule» tang «' = b' tang ^', tang û>''=ô"tang ^", tang a>"' = i'"tang^'" ; ainsi on aura directement

841. Si on renonce au calcul par logarithmes qui devient très pénible ^ lorsqu'on leur donne plus de quatorze décimales, on pourra néanmoins, par le calcul ordinaire , parvenir à tel degré d'exactitude qu'on voudra dans la détermination des fonctions F et E. Mais il y a un choix de formules à faire, pour parvenir, avec le moins de travail possible, à un degré d'approximation déterminé.

S'il est question d'abord de calculer les fonctions complètes F'c, E*c, on pourra recourir aux séries de l'art. 48, lesquelles peuvent donner un degré d'exactitude indéfini. Mais ces séries ne sont bonnes à employer que lorsque le module ne surpasse pas sin i5*, ou lorsqu'il est plus grand que sin 75**; dans tous les autres cas, ces séries sont trop peu convei|;enteSy et on parviendra plus facilement aux résultats cherchés par le calcul des

3i6 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

difiërens termes de l'échelle des modules. Ce calcul pourra toujours se faire par les opérations ordinaires de P Arithmétique.

84 '• En eBet étant donnée la valeur numérique du module c, on en déduira d'abord son complément £ = v^(i -^c*) ; on aura ensuite les deux

termes c*, &•, par les formules c° = ' 'T, , b^ = ^^ , les deux termes

c^, i**% par les formules c^= 'Ty«< &°^ = ^ . , ^ , et ainsi de suite.

Lorsqu'on sera parvenu à un c très petit, le suivant désigné par c9y et son complément b*, se calculeront plus facilement par les suites convergentes

" — ^ 64 V ^ i6 *^ ^^ W:^ ^ ^ ié.ao.a4 " ^^ ®^*^7 '

^^ 64 V ^ i6 '^ + i6.2o *^ ^ i6.ao.a4 '^ + «V» la dernière résulte du développement de la formule

11 faudra prolonger le calcul des modules c®, c*% c*^, etc. , jusqu'à un terme dont le quarré soit négligeable; soit ce terme c^"\ la série des complémens sera de même terminée k ^'^ ou plutôt k i^""*^, car dans ce cas, on pourrait supposer i^"^= i.

Cela posé, la fonction complète F^c se calculera assez facilement par la formule

quant à la fonction complète E'^, elle ne parait pas pouvoir être calcu* lëe plus simplement que par la formule

E'c = P^i----^ g jg etc.);

on obtiendra de cette manière tel degré d'exactitude qu'on voudra, par le calcul de deux séries composées du moindre nombre de termes possible,

84^. Supposons maintenant qu'on veuille déterminer les fonctions F^, Eç qui répondent à une amplitude donnée; il faudra d'abord déduire (p^ de ^ au moyen de la formule