CHAPITRE II

6 =: 77^ 25 ; on fera le calcul d'après les élémens pris dans la Table ; comme il suit :

Ai 0.466 078 604 9^1 «93

s ssz 0.981

Milieu cherché. .. A (j) = 0.465 525 073 too.32

679. Ayant expliqué la construction de la Table des fonctions complètes, et les moyens de l'étendre jusqu'aux centièmes de degré, ce qui serait un travail fort utile sans être bien considérable , il nous reste a montrer les usages de cette Table, c'est-à-dire à faire voir comment, pour une valeur donnée de l'angle 9 , non comprise dans la Table , on trouvera les logaritlunes des fonctions F* et E' , approchés jusqu'à la douzième décimale ; et réciproquement , comment du logarithme donné d'une de ces fonctions , on déduirait l'angle du module 9 , et le module lui-même c.

Et d'abord , si au lieu de donner l'angle 9 , on donne le module c ou son complément &, il faudra en déduire l'angle correspondant 6 avec toute la précision nécessaire, pour que les quantités négligées n'influent pas sur la douzième décimale de logF ou log E. Cet objet mérite un examen particulier.

Conmae nous supposons toujours c ^ b y i\ sera plus exact de déterminer l'angle 9 par le moyen de son sinus c que par le moyen de son cosinus b ; cela est vrai surtout si l'angle 0 est d'un petit nombre de degrés, parce qu'alors une petite erreur sur cos 9 en produit une assez grande sur 9. Ainsi en général si on donne à la fois log c et log b , il faudra déterminer l'angle 9 par le moyen de log c.

Si l'on veut déterminer à dix décimales seulement, les fonctions F% £', en négligeant les deux de plus que donne la Table , il suffira de chercher l'angle 6 par les Tables de Ylacq ou de Yega, et en ayant égard aux secondes différences. Ce calcul n'a pas besoin d'autre explication; seulement

après avoir trouvé l'angle 0 eu degrés, minutes et secondes, il faudra tout réduire en dixièmes de degré, et parties décimales du dixième de degré , puisque le dixième de degré doit servir d'unité dans les calculs d'interpolation.

680. Mais si on veut exprimer les logarithmes avec douze décimales, comme sont ceux de notre Table, alors l'angle 6 ne peut plus ^ trouver avec une précision suffisante par des Tables à dix décimales, telles que celles de Vlacq ou de Vega.

Dans ce cas, il faudra employer les Tables de la Trigonometria Bri^ tannicay qui sont calculées pour chaque centième de degré avec quatorze décimales. Soit a l'angle de cette Table le plus approché de l'angle cherché 0, et soit

/ sin G es / sin â -f~ ^• De là il faut tirer la valeur de 0 — - â. Or en regardant 9 et r comme

1 .,1 ^ ' ii.it . ù àd^ M dd M*sinô seules variables, on a t- = M tansU, -î-r = — ra • -y = tt

' dr ^ ^ dr* cos*ô dr cos^ô

cP9 M»(cos"9 + 3sîn"6) di M^fi +a sin^ô) , #1 r • .. -.^ j

T3 = — ^^ rr ^ . zr = — 4. ■ tang 9; faisant ensuite dans

ces coefficiens G s= a, on aura par la formule de Taylor,

et nir M. f I ' Mr , 1 + 2 gin* a M V , . \ = ^ + Mr tang a[\ + - . — - — V- — ï- — = . -—7— + etc. ).

® \ ' 2 cos*a * 2.3 cos^a ' /

Et pour évaluer 6 en degrés, soit G = ^ -(- a: , et R* le nombre de degrés compris dans le rayon, on aura

H-. = R» u„6 . (. + 1 . J^„ + L+î^ . ^ + etc.).

Cette formule se réduira le plus souvent à ses deux premiers termes , et alors le calcul en sera très facile. Quelquefois la différence r sera assez grande pour qu'il faille tenir compte du troisième terme ; mais pour avoir besoin du quatrième, il faudrait que a fût très petit, et alors il y a uu autre moyen de déduire l'arc de son sinus.