CHAPITRE PREMIER

Propriétés générales des Intégrales Eulériennes de la première

espèce.

I . JLi'BZPRBssiOR i -J par laquelle nous dédgnons l'intëgrale / -;;; 1

prise depuis â?^0| jusqu'à âf= i, est en général une fonction des deux exposans p et ^; et de l'exposant n, qu'on regarde comme des nombres entiers. Bbis nous supposons n constant | et notre but est de comparer entre

éUes les diverses valeurs <le f* J qui répondent à une même valeur de /i,

afin de réduire au moindre nombre possible les transcendantes que cette expression renferme.

. Nous observerons d'abord que les deux exposans p et q peuvent être échangés entre eux. En efiet, si on Ëiit ^zszi — jr*, on aura

et la transformée eajr devra être intégrée depuis^ = i jusqu'à /= o. En ohtDgeant son signe, elle devra être intégrée depuis jr^iO jusqu'à^s:i ; et comme alors on peut mettre jp à la place de ^ , on aura

ou suivant notre notation ,

ce qui est la propriété énoncée.

a. Il&ut &ire voir maintenant que si dans la formule f-V l'un des deux

nombres p et ^ est plus grand que n , la formule se ramène aisément au cas où /? et ^ sont compris l'un et l'autre dans les limites i et n. Pour