CHAPITRE I

cela soit Z sa a;* ( i -— ^)% on aura la diffërentielle

d'où l'on tire en intégrant,

Z= Ifa^-'dx (i —0-)'—— (*+ m) fa^^^^'dx (i — o:")'^».

Donc si on prend les intégrales entre les limites or = o , â? es i , et qu'en même temps on suppose A^o, et r^ o, a6n que Z s'évanouisse dans les deux limites, on aura

d'où il suit qu'en disant A-f-i»:s/? et rss^, il viendra

Au moyen de cette formule , toute fonction f^ \ dans laquelle on ap^ny

se réduira successivement aux fonctions \j—^j 7 v~~) > ^*^' ' î'^^*!^*

un terme r^"" j ou T^Jy dans lequel f?' sera le reste de la division dep par 71.

Arrivé à ce terme, si de son côté ç est plus grand que Fiy la fonction

C } qui est la même que f^J, se réduira successivement aux fonctions

v'Zjy \j~^\ etc., jusqu'à un terme (p) ou (hjj dans lequel ^

sera le reste de la division de ^ par n.

De là on voit qu'on peut toujours supposer la fonction T - j réduite à une

forme oh p etq soient compris tous deux dans la suite i , a , S. • • . n. 3. Gela posé, il y a deux cas principaux où ob peut brauTer imaé*

diatement la valeur de (-y, c'est lorsque n est ^1 à l'un des deux nombres

;? et 9 , ou lorsqu'il est ^1 à leur sommes.

Soit, I*. 7=/!, on aura îasmédiatement (^\;ssfaf^*dxvM — *HG, in*

t^rale qui, étant prise depuis ^sso jusqu'à «ss: i, se réduit à -^; «l'où résulte

568 INTÉGRALES EULÉRIFJNNES,

Soit , 2*., p^ssrty ou pssa , çssn — a , on aura ^^j=/a:*--"dr(i •—«■)" " ; faisant i— -x"=a:"z% on aura la transformée rationnelle

(f)°"(;:=:ïï)=/T+T?'

t^rale qui doit être prise depuis 2=0 jusqu'à jb = oo; or, par les formules »nnues {EuL, Cale. irUig.^ 1. 1, p. a5a), cette intégrales — ^ — . Donc si

on fait - = 0» , on aura

V»— a/ waam ^ ^

Excepté ces deux cas généraux, toutes les quantités désignées par T-J

sont des transcendantes plus ou moins composées , selon la valeur de n , et ne sont point susceptibles d'une évaluation exacte. Mais, pour chaque valeur de /i , on peut exprimer toutes ces transcendantes au moyen d'un petit nombre d'entre elles , et c'est l'objet des recherches suivantes.

4* Observons d'abord qu'en mettant ;9-f* /i à la place de /?, l'équation (b) donne

On aurait semblablement

(/>+a/>\ ^ jp-f-g + 2y» /p + 3/>\ q ) /> + a» \ S^ /

etc.

Dcmc, en général, i étant un nombre entier positif à volonté, on aura /P\./> + y />+g + w/> +17+271 jp+g+ty> /p + r+i,n\

mettant /? -+ r au lieu de /? , on aura semblablement

IKvisons ces deux formules l'une par l'autre, et faisons, pour abréger,