CHAPITRE I

M* = iE±SlSE±j}

{p + M) ip + q + r+ anj •

etc. ,

nous aurons

Supposons r positif et <n; alors il est dair que la quantité f^iHtitil^j

sera plus petite que f^ J et plus grande que r^ '^> Car si

on considère diverses formules (-j qui ne diffèrent que par l'exposant ;?;

comme ces formules désignent chacune l'intégrale , prise depuis x = o

jusqu'à xz=i I j d'une différentielle ^ ■ dont le dénominateur est le

même pour toutes , il est évident que l'intégrale sera d'autant plus petite que p sera plus grand.

Mais la formule (b) donne

Donc ou a d'une part le rapport

fp + i HF^TtiN

et de l'autre, ce même rapport < ^^ . Si l'on veut donc que ce

rapport soit compris entre les limites i et 1 *f" ? > il &udra prendre. • • iH- 1 > y ~^ et alors on aura

-ffçx = M-M' M" . . . .M« (1 + p), A/ ëtant plus grand que k.

570 INTÉGRALES ELUËRIENIŒS,

On sait par cette équation combien on approche du rapport de Ç^jk (j^^—jy CD prolongeant le produit M^M^M". • • • jusqu'à un terme

M^; et il est clair qu'en continuant ce produit à l'infini, on aura la vraie ▼aleur de ce rapport ^ laquelle sera

M*M'M"M^ etc.

Maintenant si dans cette équation on échange entre elles les lettres q et r, les quantités M% M', M", etc., resteront les mêmes, de sorte qu'on aura encore

-^^=M*M'M"M'», etc.

Donc par la comparaison de ces équations , on obtient la formule générale

Cette formule dont la découverte appartient à Euler, est une sorte d'équation aux différences finies, qui renferme presque toute la théorie

des transcendantes (^\ Et d'abord, nous allons en déduire l'expresnoo

générale des quantités ^\

5. Les formules (c) et (d) doiment les valeurs exactes de la fonction

r£V toutes les fois que l'un des deux nombres p et ^ ou leur somme est

égale à n. Supposons maintenant qu'on connaisse de plus toutes les valeurs

de ^Y lorsque p -|- ^=n— i , et déngnons eu général par A« la fonction

A/» — a— i\ ^^ ^^^ qu'on ait

(»Z£=li)=A, (0.

On aura donc successivement Ç^^^^\=sAty\^^^—\ssA^{^^

et parce que (2)= (£), on aura aussi ^j^= A, , (^)= A., etc. j donc en général