CHAPITRE I

*A(*-i-«) ;çs A^ (g).

D'où l'on Toit que le nombre des auxiliaires A. , Ag, A| , etc., se réduit toujours & ^~ ou 2ZI.- ^ selon que n est pair ou impair.

Paresemple^sinsry, ily aura trob auxiliaires A 1 = f- J» '^'^^Ct} '

A| = r ^Vpuisqu'onaurait A4=r7js:A|t, et A5=^4j=:A|.

Si i»s=8, il n'y aura encore que trois auxiliaires Ai, A», A9; car on auroit, en vertu de l'équation (g), A^ss A|, As^ssA^, A|S A|.

Gela posé , au moyen des équations (c) , (d) , (e) et des auxiliaires données par l'équation (f), nous pourrons trouver l'expression générale de

dans deux cas généraux : i^« lorsque/? -f* ^ est<< /i; 2?. lorsque pH*^

est > n. Yoioi comment on y parvient.

6. L'équation (e) donne immédiatement a^~^"" a ^ ^— ^-js=s....

( ~."" ) • v"~ y î substituant dans celle-ci les valeurs connues par les équations (d) et (g) , on aura

ClUÎZLiW iîJÏÏLfî (h).

Ainsi on connaît toute fonction (^j dans laquelle l'un des deux nom»

bres p etq est ^al à l'unité; si, pour plus de simplicité, on met a à la place de ;i— a — 1 , on aura pour le même objet la formule

La même équation (e) donne r^'^^~ j/S^-j=r2Zlf — j . f "j^

et substituant les valeurs connues, il en résulte

//»— g — aN^^AgAg^,!

"/»— g — a^ kjLg^t tin(g+i)#

Ainsi on a la valeur de tonte fonction y^j dans laquelle ;? + ^ ss n — a. De l'équation (e) on déduit encore immédiatement

ce qui donne

57^ INTÉGRALES EULÉRIENNËS,

(y* — g — 3\ À^k^^t A<4,a sin (g + i) • tin Ça+o)^^

Ainsi on connaît la valeur de toute fonction (jj\ dans laqnelle;?-|-i^=si»^3 En général , Téquation (e) donne

et en mettant les valeurs tirées de l'équation (h) , il en résulte

(y»— * g— i&\ A<4a^i sîn (a4- 1 — i)êÊ /y> — g — i&+ i\ a J ■"" A»«, tin (ir — i )• * \ fl J *

Donc on aura , en général ,

(» — a — ^\ AtfA<4.i,..A4.^>,i sîn (a+ i)<iiin(g+ft)4i». . .gin (g+i&— i)jp -, . a /""" AiAa...AL.i * tin«tia2«. . . sin(it— 1)« •••V/*

C'est la valeur de tonte fonction T-Y dans laquelle /i-f-^ ^t moindre que n.

7. Pour avoir l'expression générale de f^Horsque p + ^ est plus grand que fij observons que l'équation (e) donne aussi

Or par l'équation (b) on a

par l'équation (i) on a et par l'équation (h) on a

substituant toutes ces valeurs , il viendra

V a J~k+i • Aa^^,sm(a — i—i)m * \ Z J ' * "^

Tout se réduit donc à trouver la valeur de f^""^ \ Or l'équation (e) donne

8in« '

'n — g + i&\ Aa»jt i sin (g — i& — 1) <» ^

sin «» '