CHAPITRE II

si l'on fail

la Iransformée sera

Quant aux limites de cette nouvelle intégrale , il faut observer que les valeurs a:"=o, jc':=ii, ar"=i donnent respectivement 2=0,2= i,2:=:o. D'où l'on voitqu'il fout prendre deux fois l'intégrale en z, depuis z=o jusqu'à z = I . Et comme alors rien n'empêche de mettre a: à la place de z, on aura

cette intégrale est ainsi réduite à la forme la plus simple dont elle soit susceptible, puisque le radical n'est plus que du second degré. X I . Si dans cette formule on met /i — • a à la place de a ^ on aura

fn — a\ — I -I- ^ /"x"--^~'f/jf

de là et de l'équation (q) résulte cette formule remarquable qui donne le produit de deux intégrales :

V7(i— X") V V^(i — *") ~ /» — aa ^*^'

12. Puisque les fonctions f-) sont les plus simples entre les fonctions f-j

non comprises dans les formules (c) et (1), il semblerait convenable de les substituer aux auxiliaires désignées par A«, pour exprimer par leur moyen

toutes les fonctions T-J.

Dans cette vue, désignons en général la fonction T- j par M«; comme on peut supposer a <^ 7 /z, on aura par la formule (k),

jut ^__ AflAa4.i. • 'A,.a i sin (a+ 1) 0 sin (a + 2} • . . . . sîn (y>— a— i) et *""" A,Ag. . .A«„atf, ' sin « sîn 2«. . . sin (7» — 2a ^ 1) « '

valeur qui , au moyen des équations A,.,.» = A^, sin (/z — • Ar) ai s= sin Aroi, se réduit à cette forme

MAaAtf^i.c.Aatf., sin(a«f- i)«8in(a-4"2)0..«riii 2a« .v

AiAA...Aa.i sin^smaif. ..Bma« ^ ^'

576 DtTÉGRALES EULÉRIENNES,

d*où l'on tire Buccessl veinent

' * lin* *

M A«Ai lin 3» aia 4*

' ^ A, " »in * sin a« ' M ^— ^S'^t^s 'i'' 4* ''" ^* ''" ^ ' *"" AiA. ' lin • sin a« lin 3* etc.

Ces équations, qu'on peut mettre aussi sous la forme

A.As

A|A, H| * lin 3m sin 4*

A4AS M3 Mn'3« '

AtAt Ma * sin 5m tin 6* '

etc.

serviront à déterminer les auxiliaires A,, A., Aj, etc., au moyen d'un ^ nombre de quantités M,, M., M,, etc., prises dans l'ordre convenable. C pourra donc exprimer par ces dernières quantités toutes les fontions Q-

qui répondent à une même valeur de n.

Mais il &ut observer que ces substitutions ne peuvent s'efièctuer que poi des valeurs particulières de n, et qu'ainsi par l'emploi des auxiliaires H on ne peut parvenir à des formules aussi générales que le sont les formul (k) et (n).

i5. Considérons maintenant la formule

/»— aa\ r x''-*'^'cix

si(Hiftdt*~*^^H- i v/ (i +z')» 0" aura la transformée

dans laquelle il faudra prendre l'int^[rale depuis 2=0 jusqu'à 2 = oo , qui d'ailleurs suppose a <C ; n. Mais en vertu des équations (e) et (p) , on i

(» — 2a\ f ia \ m a J ' \n^a/ '~~ a sin aam '

VA/ ' \ft^a/ ^ \n — 0/ ' \fl/ ""' a mai*