CHAPITRE m

Mettant dans la seconde x* à la place de x, ce qui ne change pas les limi-

tes, on aura g) = =^"'/t/(. -.>) = ' ^' ^*^" 45°). Ainsi tout se réduit à trouver l'intégrale f-j, ce qui se fera au moyen de

/dz . ,

x/r 4-^8l> P^'^^® depuis 3=0 jusqu'à z = 00 .

On peut supposer d'abord qu'elle soit prise depuis zz=zo jusqu'à z = 1 ; ensuite pour la trouver depuis z = i jusqu'à a = 00 , il faudra mettre - à la

place de c, ce qui donnera l'intégrale / f g-r à prendre encore depuis z = o jusqu'à 2=1. Donc l'intégrale dont il s'agit est la même que l'intégrale / /} \ ^ prise depuis 2 = 0 jusqu a z = i.

Soit I — z*=çzj on aura ^ = 7? -^+^^ = '— ^7> l^(i+2*) =

S» v/[(9*4-2)» — 2]; donc

Cette intégrale devant être prise depuis y = o jusqu'à y = 00 , nous ferons m*=2 4"V^2> 9^=/7itangÇ, i^sa^/a — 2, ce qui donnera l'intë-

rale indéfinie T^^fyj^j—^r^^ = ^^C*j <P) , et l'intégrale complète T* = — F*i: donc enfin la valeur de la transcendante cherchée sera f -) =

2 " "^ F'i, parce que d'ailleurs /7i = â cos -g-.

Nous remarquerons que le module i= v/(2v/2 — 2) est le complément du module c = v/2 — i j or par la propriété de ces modules démontrée art. 85 des fonct. elL, on a F'î = v/^F'c, donc on aura plus simplement

Q = 2^ F'c = a^ F'(tang g).

Cinquième cas /ïs= 12.

25. Il suffit dans ce cas de connaître les trois transcendantes

d<£ I V r dz

S84 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

La seconde et la troisième se ramènent immédiatement aux fi>rmules déjà intégrées. En effet, si dans la seconde on met x* à la place de x, on aura

et si dans la troisième on met x^ au lieu de x, on aura

il ne* reste donc plus qu'à trouver la première f- Y Considérons, pour cet effet, Fintégrale Z=s yT-rr-TT-rn P™® depuis z=o jusqu'à z=90 , on

trouve, comme ci-dessus, qu'elle est égale à l'intégrale JTTr'^AÀ prise depuis s^o jusqu'à z= i.

Soit i4-z*=M% on aura la transformée Z=s T .i ] ^ *v ■ — t Qu'il

fieiut prendre depuis p^=i2 jusqu'à p^sco . Soit encore /i^ss 12, et p^^^n^ ^sspu^ on aura

P^'^'JP^'h i3=/7'(u* — a/i'-l- 7)

V 4P = 777:Tr^ +

V/(» + a/») ' V/(»— an)'

et enfin ,

7 I r 2^: . jL r J^ï

Nouvelle formule dont les deux parties doivent être intégrées depuis us=|/(2n^-f-7)=2+ï/3, jusqu'au = 00. Soit 2+v/5=X et u+a/i — x\ la première partie deviendra

r idx

Soit encore 0:^ = ^^ et c* = ^î2, ou ^ = î^^^li^, la transformée ^^"^ ^UÇ^J î/(i— c'sîn*^)^ ®* ^*^ valeur dans les limites requises sera

Si l'on fait semblablement bz=z 1 ,yV > valeur qui sera le complément du module c, l'autre int^rale sera ' .« F'i.