CHAPITRE V

gentes, il faudrait partir de la formule {h!)j et la difierencier par rapport à py autant de fois qu'il est nécessaire* En la différenciant une fois, on aura

lJ ï 1^ 71— <7 1 ^^ 71— ^r

(JL ^ , 7» p«27» — •/) / I

— LJ27» * 7»+y 27».47».(27»+5r) \7l — ^

[ , 7» — p.7.Tv^p,on^^p / I ,

Ces suites sont convergentes, puisque chaque terme est moindre que la moitié du précédent; mais leur forme est compliquée, et elle le deviendrait davantage dans la différentielle du second ordre ou d'un ordre plus élevé , c'est pourquoi il convient de recourir à d'autres moyens, si on veut évaluer facilement les intégrales dont il s'agit.

2Q. Par la formule de l'art. 4 9 on a cette expression de Z,

011 les facteurs successifs dont le nombre est infini, s'approchent conti* nuellement de l'unité qui est leur limite. Si on différencie, par rapport k Pj les logarithmes des deux membres , il viendra

^ ^ (^ L\^(^-J i-\+( i î^Wetc

Zdp \p+q p/ \p+q+n /) + 72/ "^ \/)+ gr + 271 p+2n/^^

Soit * ou *(u) une fonction de u, telle qu'on ait

yP yP4-9 yP+B uP+f+I» UH^* t,/^^**"'"

* = T- H — -r -T—T" + -^jrz , . — + etc.

La fonction <b (u) devenant * (i), lorsque u= 1, on aura — j-r- ou g-=0(i). Or, en différenciant par rapport à u la valeur de O, on a

,. , f uP-» + uP+»-* 4- »p+»»-» + etc. 1

ou en sommant ces suites d^'s^dAjy^ — THv^ — p àouz

590 BNTÉGRALES EULÉRIENNES,

Cette int^^rale doit être prÎBe de manière qa'elle s'ëvaaouisae lorsqui u sso; on fera ensuite ussi , el on aura .la valeur cherchée de ^(i). Mettant x à la place de v et faisant

on aara Z' = ZT ; donc si on prend , depuis x = o jusqu'à x :^ i , les troi intégrales

la première sera égale au produit de deux autres , ce qui est un théorème fort remarquable.

3o» Pour étendre encore davantage cette théorie , oonsîdérona ces deus suites d'intégrales en Z et T , prises depuis x = o jusqu'à xsss i.

Il résulte d'abord du théorème précédent qu'on a

Z'=ZT.

Différenciant cette équation par rapport à ^, et observant qu'on a -j~

dp

„Z',Ç1 = — Z", ^ =— T, on aura Z"=Z'T+ZT', ou

Celle-ci étant difierenciée de nouveau par rapport à p y donne

et ainsi de suite , la loi de ces expressions étant analogue à celle des di rentielles successives de la ^rmule uef^ . Si l'on veut donc avoir les valeurs des quantités Z% 21'^ Z'"^ etc.^ ou sim-