CHAPITRE V

plement leur rapport à la fonctioa primitive Z, il £Eiudra oonnaitre les quantités T, T^, Vy etc., en pareil nombre. Mais, comme celles-ci sont rationnelles, et contiennent des puissances moins élevées de log-, on voit qu'au

moins la difficulté est diminuée.

3 1 . Si l'on intègre la diflfërentielle x^H-*— i^^ depuis jpsso jusqu'à x= i, on aura

A:^+*-'d[r =S3— î— = i- ^ -1- iî! — i- -1- etc.

-' m+* w» m^ mr m*

Si on met la même difiOérentielle sous la forme a^^'djc^x*^ ou

ce- 1 . et?

ûc^^^dx ( I + a log a: + — log* x H x log'x + etc.) ,

son intégrale prise entre les mêmes limites , sera

fxf^^dx + afxT^^dx log x -^ fae^^dx log' x -1- etc.

L'identité de ces deux formules exige donc qu'on ait

/a--'^log(i)=jl.

et en général

A-'diclog»(i)

mi

/x— Ar Iog-(i) = i:^.^. (kO

32. A l'aide de cette formule on peut exprimer les quantités T, T", etc., par des séries régulières, composées des puissances réciproques des nombres pris à des intervalles égaux dans la siûte des nombres naturels.

Ainsi en développant d'abord la diffîrentielle qu'il &ut int^er pour avoir T', on a

•' ^ « l — «TH-»— «r+rM-i„ j^+t+M— — etc. / ' et 'effectuant l'intégration entre les limites x ss o , «c = i , il vient

T'=— -I ï I ' I ctc

Sga INTÉGRALES EIJLERIEMES ,

Désignons en général par (a, /i)* , la somme de la suite

laquelle deviendra (i , /»)", (a, /»)■, (5, /»)", etc., selon qu'on fera a=iy a , 3, etc., n étant constant : on aura suivant cette notation ,

T'= (;»,»)'-(;' H- 9, »)• ji5T«'= (;», /»)♦- (;; H- 9, ii)f

etc.

33. Il faut observer que n et m restant les mêmes, ou n'aura besoin de considérer les valeurs de (a y n)*, que depuis a:= i jusqu'à a^sn^ car il est visible, par exemple, que (/» + i , n)* se réduit à (i , !»)■— i , et qu'en général on a

(a + /i,/i)-=(a,/i)--^. (nO

Par suite de cette formule, on aurait de même

et en général on réduira toute quantité (a, /i)", où a est plus grand que n, à une quantité semblable où a n'excédera pas /i. On voit encore que (/i , /i)" Représentant la suite

cette quantité est la même chose que

Si donc on désigne par S. la somme des puissances de degré — m, des nombres naturels, en sorte qu'on ait

S«= 1+^+^+^ + 5;: + etc., (p')

on aura (/i, n)* s= -^j^ S.. Enfin il est visible qu'on aura aussi l'équatiou

laquelle, en substituant la valeur de (/», /»)*, devient