CHAPITRE IV

connues des quantités (a, /i)"*, c'est-à-dire des suites qui résultent de la décomposition de la suite générale

S«= i+^ + 3i;; + 7;;ï + 5;ïï + ^^c. ,

en prenant les termes de trois en trois, de quatre en quatre, ou en général <]e n en n. On trouverait 9 par exemple, que la suite

I — 3ÏS + 5= — ^ + etc.

est sommable lorsque m est impair, et qu'elle ne l'est pas lorsque m est pair.

On trouverait au contraire que la suite

^ + ^H-^ +elc.

est sommable lorsque m est pair, et qu'elle ne l'est pas lorsque m est impair. Le mot sommable est ici entendu non dans un sens absolu, mais relativement aux méthodes connues jusqu'à présent.

Ces choses n'ayant point de difficulté , et ayant d'ailleurs été démontrées par d'autres voies, nous ne nous y arrêterons pas davantage. Nous ferons voir seulement comment on peut trouver , par des suites qui soient convergentes dans toute leur étendue, les valeurs des quantités Ç et Ss qui sont restées inconnues dans les art. 36 et 38; recherche plus difficile qu'elle ne paraît au premier coup d'œil, parce qu'en suivant les méthodes qui se présentent naturellement, on retombe sur la même difficulté qu'on voulait résoudre.

40. Pour obtenir d'abord la valeur de Sj, j'observe qu'on peut supposer

(.,6)» = iJJ^^log^jr (4,6)« = i/^log-j.''

4oo INTÉGRALES EULÊRIEMES,

car les seconds membres étant int^és depuis ^ ^ o jusqu'à jr ^ ë y au moyen de la formule (A/) , ces équations deviennent identiques.

Or y d'après les équations (j^), on a

(1,6)» - (5,6)»= ifrE$ df logV = 4«'V^5 ,

(.,6)» - (46)»=i/fE-^4rlogV = ^3.

CSes deux équations ajoutées ensemble, puis soustraites l'une de l'aulre, dcmnent les deux suivantes :

^J i+y-hy ^ ^ 3i/3 9 '

de scNrte qu'on a entre ces intégrales le rapport très simple

mais cette finmole est susceptible d'être généralisée ainsi :

/4y^^y a''+i r dyiog^y ., „

Ed erot} soit

on aura

mettant dans cette dernière ^^ au lieu de jTj il viendra

et par conséquent P = ^ ^' Q.

Par la combinaison des équations (a'') , et la substitution des valeurs don nées par les équations (z'), on obtient

(5,6)» + (6,6)»==i/!:^=JgS,.

Soustrayant la seconde de la première ^ on aura'