CHAPITRE IV. 4oi

aJ i+^+J^ 9 9 *^ '

d'ailleurs oo a déjà trouvé

ay i+j' + j^ 9 "^ ' donc en éliminant ai* , on aura

Cest de cette formule que nous allons tirer la valeur de S3. 4i- Je remarque d'abord qu'on peut faire

La première partie

/rf^lo8V=<i"i+è-^-i-etc.) = .S,(,-|) = |s., donc on aura

ils — r >C^~^)4yio8!y .

iS^'—J (1+^)0 +j^+:n' soit r = — ; — , et la transformée sera

formule qui doit toujours être intégrée depuis z = o jusqu'à s =3 i.

On voit maintenant que comme z^ est toujours plus petit que i y on

pourra réduire 737-; en une série convergente, de sorte que l'intégrale ne

dépendra plus que de termes de la forme fz^^^dz \o^jr* Mais^ pour rendre la série encore plus convergente, je &is z* = i -^ u*, et j'ai

intégrale qui doit être encore prise depuis tt = o jusqu'à uss i. Cette intégrale étant prise par parties, devient

— Mog(i - ^.log-j+y^logj . log(i - j) î

la première partie s'évanouit aux deux limites de l'intégrale; ainsi on a sîmr plement

4o3 INTÉGRALES EULÊRIENNES,

I — -j)» ®* substituant la valeur -^i. = — —, on aura

iJS3=^dslogi . (i -f-i . ^ + 5 . ^+î . l + etc).

Soit donc

i/ & Jogi = P,

i/«-i8 logi = P',

'-frdz log i = F', etc. , ces intégrales étant prises depuis 2=0 jusqu'à z = i , et on aura

11^ Po l' ^l^ ^*l* ^l t

42. Pour avoir maintenant les quantités P% P', P", etc., j'observe qu'on a en général

/u*^dz log - = log "fvf^dz -f-/ — . Ju^dz. y y j y j

Dans cette formule, nous supposerons que l'intégrale fvf^dz est prise de manière qu'elle s'évanouisse lorsque z = i ou 11=0, alors la partie

log - fuf^dz s'évanouit aux deux limites de l'intégrale, et on a simple-

ment

où l'on voit que les logarithmes ont entièrement disparu , et qu'on ne doit plus tenir compte que de la relation u* = i — z*. On a d'ailleurs

J am + ij ^^^a/Fi+i'

multipliant de part et d'autre par — et intégrant, on aura

2171 4-1 J am + I

Or, zdzzss -— uduy et par conséquent

2I71-I-I "^J 2W*-f. X -^ (ai»+l)2ll» "■ '