CHAPITRE VIL 4ii

et s'il arrive que P'^ç soit > is , on changera , d'après l'équation (Ç) , cette formule en celle-ci

Nous remarquerons que ces formules sont propres à donner l'expression générale de (-^au moyen des quantités de la même espèce (-\ (-\ Q\ etc.

En eflFet, les valeurs de T (m, T^-J, Tr^-^^j étant tirées de la formule (x), on en déduira

formule qui servira tant que;? -H q sera plus petit que n.

Si on ap^ q'^ riy il faudra faire usage de la seconde formule, qui donnera par de semblables substitutions,

(P\ . ' ^ W \p+lJ\p + ^/ Vl— 1/ r ,v

Ces formules répondent aux équations (k) et (n) trouvées ci-dessus^ et on les ferait coïncider 'entièrement en substituant, au lieu de chaque quantité

f- J , sa valeur

/i\ __ Ag sin(a4- 0 ^.

\a/ "** sin • '

ainsi les fonctions F oiTrent un nouveau moyen direct et très simple de déterminer l'expression générale des quantités T-j.

5a. Pour revenir aux quantités F (a) , nous avons déjà trouvé l'équation

sm ONT

au moyen de laquelle les valeurs de la fonction , depuis <i == o jusqu'à ^ = ^, se déduisent des valeurs supposées connues, depuis a = j jusqu'à a = i .

Nous allons prouver ultérieurement qu'il suffit de connaître les valeurs de la fonction dans la moitié de cet intervalle, c'est-à-dire seulement depuis a =1 1 jusqu'à a = i ^ et on en déduira toutes les autres valeurs.

4 1 s INTËGRALES EULÉRIENTŒS ,

Ed eflfet, si on suppose a^^h, l'équation (<) donne tout à la fois

\jn — a/ p //> — aa\

Substituant ces valeurs dans Téquation (d') , puis mettant simplement a au lieu de -, et réduisant les fonctions d'après la formule (8), on aura

r (fl) = -j^ cosuTT.r {2a).T a — û),

équation qui suppose a <Ch Cette équation combinée avec l'équation (0) , donnera

r(i— a) = -^cosa^r(i — rïfl)ra+fl); enfin de celle-ci on déduit , en mettant a -— ^ au lieu de a ,

53. Nous supposerons connues les valeurs de F {a) depuis ^ =: 7 jusqu'à a= I.

Cela posé, i^. Le second membre de l'équation (y) sera connu pour toute valeur de a^ depuis a z=2 \ jusqu'à ^ = | ; donc on connaîtra T (a) dans ce même intervalle depuis a = ^ jusqu'à a = f .

!2*. Au moyen de ce premier cas , le second membre sera connu si a — 21a est compris entre 7 6t f ; on connaîtra donc F (à) toutes les fois que a est compris entre {^ ^^ ïf-

3"*. Au moyen des deux premiers cas, le second membre de l'équation (v) sera connu si 2 — 2a est compris entre tj et ff ; donc on connaîtra F (a) pour toutes les valeurs de a comprises depuis a =: f = f^ jusqu'à

4**. Le second membre sera encore connu si a — 2a est compris entre fx et H; donc F (a) sera connu depuis a = fj = -J^ jusqu'à ^i = fî, et ainsi de suite.

Par ces diverses opérations les valeurs de a pour lesquelles F (a) devient