CHAPITRE VIII

Considérations générales sur les Intégrales Eulériennes de la

première et de la seconde espèce.

55. JliN désignant par T-j l'intégrale f --^ — , prise depuis x=zo

jusqu'à a? = I , Euler avait pour but de comparer entre elles les diverses int^rales de cette forme qui répondent à une même valeur de n^ et il supposait d'ailleurs les nombres^, q^ n entiers; mais on peut considérer les choses d'une manière plus générale.

Soit jc's^jr^ on aura la transformée - Ij^ ' ^{^ ""7)" * 5 mfetlant dans celle-ci petqkh place de ^ et - , elle deviendra - jjf^'^^dj ( i — J^)*""' , nouvelle intégrale qui devra toujours être prise entre les limites ^ = o,

De là on voit que l'intégrale yif"*rfx(i —a:)*""', prise entre les limites x=o, ar=: I ; comprend l'intégrale d'Euler, lorsque^ et q sont supposés rationnels; mais elle pourra en représenter.uue infinité d'autres.

Nous désignerons cette nouvelle intégrale par le symbole [p, (f\y qui ne laisse rien de sous-entendu; les nombres/? et q seront à volonté rationnels ou irrationnels ; mais ils devront être positifs l'un et l'autre, parce que sans cette condition, l'intégrale aurait une valeur infinie. Au moyen de ce nouveau symbole, l'intégrale Eulérienne s'exprime ainsi,

56. 11 est essentiel d'observer que l'intégrale désignée par \^p , y] peut être regardée comme une fonction continue de /? et ^, ou comme la troisième coordonnée d'une surface courbe dont p et q seraient les deux autres coordonnées. En effet, si l'on fait crottre par degrés insensibles l'une ou l'autre