Si l'on fait V=a: {}-) , on aura d^zzzdx U-} ^^adxyl-j

Intégrant de part et d'autre depuis ^=0 jusqu^à JC= i , et observant que V s'évanouit dans ces deux limites, on aura

r(a+i) = /irfl; (i)

c'est la première et la principale propriété des fonctions F. La démonstration que nous venons d'en donner suppose a positif, sans quoi V ne s'évanouirait pas lorsque j: = i .

On peut distinguer dans les valeurs successives de Fui, plusieurs périodes; la première comprise depuis ^2 = 0 jusqu'à û;= i, la seconde depuis <i=i jusqu'à ^=2, et ainsi de suite à l'infini. Cela posé, il résulte de l'équation précédente que si l'on connaît la fonction F dans toute l'étendue d'une de ces périodes , on pourra déterminer cette fonction dans toute autre période.

Par exemple, si la seconde période est donnée, on trouvera F^ qui appar* tient à la première période, et F(|) qui appartient à la quatrième, par les valeurs suivantes, déduites de l'équation (1),

ri = 3r($), r(5)=Mr(|).

59. La fonction F^ est la plus simple lorsque a= i ; alors on a F(fl) =

4i6 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

y3a?=x= 1. Donc, lorsque a est un nombre entier , on a gcnéralcment

ra=i.3.3.4 (^""Oî (^)

c'est-à-dire que la fonction Ta est ^ale au produit de tous les nombres entiers moindres que a.

Cette notion, fort claire lorsque a est un entier, ne présente plus aucun sens lorsque a est fractionnaire; mais Fanalyse y supplée en donnant pour

valeur de la fonction, l'intégrale /îix TZ -j , prise depuis a:=o jusqu'à

â:s=i; intégrale qu'il sera toujours possible d'évaluer avec tel degré d'approximation qu'on voudra.

60. La fonction Ta est très remarquable par l'utilité dont elle est dans la théorie des intégrales définies. Nous pensons qu'il est nécessaire de lui imposer un nom particulier , et nous proposons de prendre pour ce nom celui de la lettre grecque F. Nous appellerons donc en général gamma du nombre a^ le produit de tous les nombres inférieurs à a , savoir , 1 • 2 • 5 • . • • (a — i ).

Lorsque a ne sera pas un nombre entier , le gamma du nombre a sera en général une transcendante. Mais nous verrons que ces transcendantes ont beaucoup de propriétés, et qu'elles peuvent être évaluées dans tous les cas avec presqu'autant de facilité que les arcs de cercle et les logarithmes. Réciproquement le nombre a pourra être r^ardé comme la racine de la fonction Ta^ et nous la désignerons de cette manière.

61. Revenons maintenant à l'intégrale Héïime Jaf^^dx (i — «a:)^""', que nous avons représentée par [p^ q]- Cette intégrale est facile à déterminer lorsque l'un des deux nombres p et q est entier. Supposons que ce soit q , et faisons U=: j:''(i — j:)^""% nous aurons par la difFérentiation ,

rfU= (p4-7 — i) x^-'dx (i — x)*-' — (^ — 1) xf'-'da: (i — ar)^—.

Intégrant de part et d'autre depuis a:=o jusqu'à ar=: i, et observant que dans ces deux Hmites U est nul, puisqu'on suppose à la fois;?>o et ^ ^ 1 , on aura

fx^-'dx (i— a:)*-> = ■ ^~^/xP-'dx (i — o:)^— ; on aurait de la même manière

fjcP-^dx {i^xy-^ = l""l-/g^'gfa^ (i — a;>-^

et ainsi successivement, jusqu'à ce qu'on parvienne à l'intégrale /i^""*£ir

qui, dans les limites données, se réduit à -. Donc g étant un nombre en-