CHAPITRE VIII

lier, on a généralement

faf-^dx{i — xy-'

/? + y— i./^ + g' — 2... /)+ I p Mais dans la même hypothèse on a, par l'équation (i),

Fç' = 1.2,5 9^ — 1,

donc la valeur de l'intégrale trouvée peut se mettre sous cette forme

On aurait trouvé le même résultat en supposant p entier et ^ un nombre quelconque, ce qui d'ailleurs se voit immédiatement en mettant i — x à la place de x.

62. L'équation précédente ne contenant plus de facteurs en nombre indéfini , acquiert une plus grande généralité , et ne suppose plus que l'un des deux nombres p et q est entier ; car d'ailleurs chaque membre doit se réduire à une même foiictioji de ;? et 9^, laquelle est

Nous aurons donc, quels que soient ;? et y, l'équation

rprq

qui sert à exprimer généralement la fonction [py q] au moyen des fonctions F.

65. L'équation (5) simplifie considérablement la théorie des fonctions [Pi 9] puisqu'elle fait voir que ces fonctions, qui dépendent en général de deux variables, peuvent se déterminer par la fonction F qui n'en contient qu'une. Cette même équation, en établissant une relation entre les fonctions [/?, y] et les fonctions F, va donner les moyens de découvrir les propriétés des unes et des autres. Et d'abord on voit que dans la fonction [.Pj 7] y 'es quantités p et q peuvent être échangées entre elles , puisqu'il en résulte toujours la même valeur de [;?, ^]. On a donc la formule

[Py 9] = [.9yPl (4)

On a ensuite, d'après l'équation (5),

4i8 INTÉGRALES ELLERIEMES ,

et celles-ci étant multipHées entre elles donnent

Si l'on observe maintenant ([lie dans le second membre de celte équation deux des lettres ;?, ^ , r, peuvent être échangées entre elles à volonté, on en conclura celte nouvelle formule :

[Py 9I [P + 9y '•] = [Py ^1 [P+^y 71 = [7> ^1 If + ^y Pl y (5)

laquelle contient une propriété fondamentale des fonctions [/?, 7].

Ces propriétés, au reste, s'accordent avec celles que nous avons démontrées dans les Chapitres I et II, relativement à la fonction désignée par

^jl mais elles ont dans notre nouvelle notation une plus grande généralité, puisqu'elles ne sont pas restreintes à la supposition que p et q soient des nombres entiers ou seulement rationnels.

64. L'intégrale [p, q"] peut être déterminée exactement lorsque p'i^qzzz: i j en effet, considérons la formule

[a, I — ^i] = faf^dx (i — • x)"* ; si. l'on faiti— x = -, ou a:== , l'intégrale aura pour transformée

, , laquelle devra être prise entre les limites 5=0, z = qo. Or, Euler a prouvé que cette dernière intégrale = . ^ ■■ ; ainsi on aura généralement

*• ' J cil

SIQ a^

Mais par l'équation (3) on a aussi

[a, I — a] = )^^ i-^TaT (i — a).

Donc entre les fonctions Ta, r(i — ^i), on a cette équation très remarquable

r<0-«) = iST,= (6)