CHAPITRE VIII

c'est la seconde propriété générale des fonctions F. Si on &it a = ^, il en résulte Tj= ^tt,

Q^. On voit par cette équation que les fonctions Fa, F (1 — «), placées symétriquement dans la première période, peuvent se déduire l'une de l'autre^ puisque leur produit est toujours une quantité connue. Et parce que les racines fl, 1 — a sont coniplémens l'une de l'autre, nous r^arderons la fonction F(i — ci) comme étant le complément de Fa, et réciproquement.

On a déjà remarqué que pour déterminer la fonction Ya dans toute sou étendue, il suflit de connaître cette fonction dans la première période, depuis â = o jusqu'à a = 1 , ou dans une autre période quelconque , comprise entre deux entiers consécutifs m, m + i. En vertu de l'équation (6), il suffira de connaître la fonction Ta dans la moitié d'une période, par exemple depuis a = o jusqu'à a = ^, ou depuis a = j jusqu'à a c= i.

Dans la seconde période, les fonctions F(i -|~a), F(2 -—a), également éloignées des extrémités de la période, seront pareillement regardées comme complémens l'une de l'autre; et puisque d'après l'équation (i) on a F (1 + fl) = ûFa et F(2 — a) = (i — û) F(i — a), il s'ensuit que les deux fonctions F(i + û), F(3 — a) poun'ont se déduire l'une de l'autre par l'équation

8in aie

On trouverait de même, dans la troisième période , que les fonctions F(2H-a) et F (3 —-a) se servent mutuellement de complément, et se déterminent l'une par l'autre.

G&. Ces formules entre les fonctions complémentaires prendront une forme plus élégante en les comptant du milieu de chaque période \ alors oa aura pour les périodes successives les équations

ra-.)ra + a)=^, ra-«)r(f+«)=a-^)^,

r (i-«)ra+a)=a-a»)a-fl*)^,

etc.

Si l'on fait a = 0 dans ces diverses équations, on aura les valeurs des fonc» tiens qui se rapportent au milieu des périodes , savoir :

Ces fonctions , et celles où a est un entier , sont les seules qu'on puisse dé-

4ao INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

terminer exactement, sans employer de transcendantes plus composées que les arcs de cercle et les logarithmes.

67. Si l'on considère les fonctions successives T -,r-,r-... .r'* ' dans lesquelles n est un nombre entier , il suffira de connaître les

premiers termes de cette suite , si n est impair , et les i premiers seulement si n est pair. Les autres se détermineront par l'équation (6) , à laquelle on joindra, dans le second cas , l'équation F-; = |/^.

A l'égard des intégrales T-Jqui, dans la notation d'Euler, répondent à une

même valeur de n , elles s'expriment par les fonctions F , de la manière suivante :

W-/.U' J- nT^±Â'

la première devant être employée si l'on a ;? -j- 9 <C n , et la seconde si l'on

Au moyen de ces deux formules et de l'équation (6) , toutes les intégrales r^J dans lesquelles les nombres p et ^ sont pris à volonté dans la série 1,2,

5. . ./i, pourront s'exprimer par les premiers termes de la suite tÇ-\ fT-j,

F T-Y etc., savoir, par ^^^ termes si /i est impair^ et par-— i si /i est pair.

68. Gomme on a T-j c= Ç^j , on pourra toujours supposer que p n'est

pas ^ q; alors les int^rales f-j qui répondent à une même valeur den, pourront être disposées dans un ordre triangulaire , comme il suit c

CHAPITRfi»yilL 4a t

Le nombre de toutes ces fonctions est donc - (1 -f- ^)' H faut déduire de ce nombre, i*. les n fonctions de la forme f^j , dont la valeur exacte est - j 3®. les fonctions de la forme ^ , dont la valeur est — - — ; le nombre de

celles-ci est ou , selon que n est impair ou pair. Il restera donc ,

dans la série des intégrales ^\ un nombre de transcendantes égal à j (n — i)*, si n est impair, et à - (/» — a) si /i est pair. Dans le premier cas , un nombre 7 (/i — i)* de transcendantes r^j peuvent

s'exprimer par les "" premiers termes de la suite F -, T -, T -, etc.; dans

le second , un nombre - (/i — 2) de transcendantes \j-\ peuvent s'exprimer par les - — I premiers termes de la même suite.

De là on voit qu'il peut être établi un grand nombre de comparaisons entre

les transcendantes T-J qui répondent à une même valeur de /s, et qu'elles

peuvent toutes être exprimées par un petit nombre d'entre elles ; nombre

qui sera ou - — i , selon que n est impair ou pair. Mais ce nombre ,

dans le cas où n n'est pas preimer, pourra être réduit ultérieurement par les autres propriétés de la fonction F , que nous démontrerons ci-après.

69. Considérons maintenant le cas où les deux nombres ffelq sont ^aux dans la fonction [j? , 7] ; alors on aura

[a , d\ =zfx^-'dx (i — xY-\

Soit ^ =s x (f -f- 7"), la transformée sera o^'^^fdj (i — Z*)^* ; et comme T. U. 72

4âi» INTÈGRALBS ELLÉRIENNES,

cette nouvelle intégrale doit être prise depuis j^ c= — i jusqu'à /• = + i , il revient au même de la prendre depuis^ = o jusqu'à j^ = i , et de doubler le résultat. On aura ainsi

Mettant a; à la place de j^*, ce qui ne change pas les limites , il viendra

[a , «] s= a'~"/à:~* dx(i — a:)*-", ou

formule qui s'accorde avec l'équation (r) du diap. II. Mais y d'après l'équation (3) ci-dessus^ on a

r T Fa Ta ri n ^ i ^^

donc en substituant ces valeurs^ l'équation précédente donne

c'est la troisième propriété générale des fonctions T.

fjo. Il ne sera pas inutile de faire voir comment on peut parvenir à ce résultat par une autre voie.

G)nsidérons pour cet effet la fonction '^^{n), dont la valeur est

si l'on met n+ i à la place de ti , on aura

de là résulte

^Ky*+0 __ 4^ + 2.4/^+4 ^ ^ (/») 2/» + 2 . 21» + 1 ^'

Donc en général 4/(/ï) = A.4"> A étant une constante qu'il faut déterminer dans un cas particulier. Or en faisant ti = i , on a «>}. (/i) = 4 ; donc A = i ; donc n étant un nombre entier quelconque , on aura

2/t + 2.2l» + 4«2/» +6. . .4/* __^ yp

Mais en vertu de^Féquation (i), on a

Faisant successivement mzssnetmsa — i.. cette formule donne