CHAPITRE Vm

I 3 5 an— i r(^ + J)

Divisant la première équalion par la seconde, il vient

2i>+ 2.2/> + 4» ■ .4^i rir(27i + i)

Lorsque /* est un nombre entier, le premier membre se rëduit à a*" ; ainsi dans ce même cas on aura

rir(2n+i) .

Cette équation ayant lieu lorsque n est un nombre entier à volonté, elle aura également lieu pour toute valeur de n^ puisque Fa est une fonction continue de n. Si Ton fait ensuite /2=:a— — ^, on retombera exactement sur l'équation (g).

71. Si Ton combine l'équation (9) avec la première des équations de l'art 52, on aura l'équation {v) de l'art 66, dont nous avons montré l'usage pour déterminer la fonction Va dans toute l'étendue de la racine a^ pourvu qu'on connaisse la valeur de cette fonction depuis a = ^ jusqu'à 11= i. On pourrait prendre également pour intervalle connu celui de â=:o à 0=^, ou celui dea = i àâ:^|, comme on le verra ci-après.

72. Pour revenir maintenant aux réductions dont nous avons parlé dans l'article 68, îl faut voir quel usage nous pourrons faire de l'équation (9).

Si n est impair, il n'y a pas lieu d'appliquer cette équation, parce qu'il en naîtrait de nouvelles transcendantes dans lesquelles les quantités a auraient des valeurs fractionnaires dont le dénominateur serait 2/1, et qui ne seraient

plus comprises dans la suite des trancendantes T -, T-, T-, etc.

Mais si n est pair, l'application de l'équation (9) aux valeurs successives

a = -, fl = - , etc. , permettra de réduire le nombre^des transcendantes

r -, r - , etc. , à — T— ou 7 , selon que n sera de la forme 4*+ ^ ou 4«.

73. Toute la théorie des intégrales Eulériennes, tant de l'espèce T-) que

de l'espèce Fa, est comprise dans le petit nombre de formules que nous venons d'exposer. On en peut déduire, sans exception, toutes les formules qu'Euler a données dans ses différens Mémoires sur ces int^rales, et toutes

434 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

celles que nous leur ayons ajoutées^ d'après l'ëqnation {d ) qui n'était pas connue de cet illustre auteur.

L'application de ces formules au cas de /i:^ 121 a été donnée avec détail dans l'art. 18. On y a&it voir que, dans la méthode d'Euler, cinq transcendantes A , A|^, A3, A4, Ag, sont nécessaires pour déterminer toutes les inté*

4|rales T- j ; elles suffisent aussi pour déterminer toutes les fonctions F -^s y

r 7^ • • Srjy ainsi qu'il résulte des formules des art. 5o et 5i .

Au moyen de l'équation Çd') , ces cinq transcendantes ont été réduites à trois seulement , savoir, A. , A^^, As, ce qui s'accorde avec le résultat général

de l'art, précédent^ qui donne ^ pour le nombre de transcendantes nécessaire lorsque n est un multiple de 4-

Enfin, au moyen de diverses intégrations dont le résultat a été donné, art. 24) ^^ ^^^ parvenu à déterminer exactement le rapport de A. à^Aj, ce qui réduit les trois transcendantes aux deux seules A, , A,. On peut donc réduire k deux seulement les fonctions F-;^, F^^,... FT7,de manière que ces deux fonctions étant connues , toutes les autres peuvent en être déduites.

Cette dernière réduction, qu'on n'avait obtenue que par désintégrations très compliquées, méritait une attention particulière; elle donnait lieu de croire que la théorie des fonctions V devait contenir d'autres formules propres à opérer leur réduction. Ces formules ont en effet été découvertes par des recherches ultérieures, dont nous donnerons le résultat après nous être occupés des développemens en série qui servent à calculer les valeurs appra>o chées des fonctions Fa.

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