x=z[^ (2^ar)* R. (lo
Le premier membre est la valeur de r(i -j-jc) lorsque x est un nombre entier ; mais comme le second membre est une fonction continue de x^ on aura en général quelque soit a:, |
r(i+x) = Çy (a-Tfor)"' R , („)
telle est la formule par laquelle on pourra dans tous les cas déterminer la
valeur approchée de r(i H-x), et par conséquent , celle de rar= -r(i+a:), pourvu que x soit > i.
76. La quantité R peut se développer suivant les puissances de - ; car on a
R = I + log R H- 7 log* R H 5 log* R + etc. ; substituant donc la valeur
de log R , ainsi que celles des coefficiens A', B', G^ etc. , qui sont A = ^ , B' = y^, C=:fr, iy = jô^ etc., on aura
Dans cette suite, si on appelle M la partie qui contient les puissances paires de ;r , et N celle qui contient les puissances impaires, on aura M* — N*=ai,
de sorte qu'on pourra prendre indifféremment R = M H- N , ou R = ^ J .
En effet, comme toutes les puissances de x sont impaires dans log R, le changement du signe de x donnera log(M+N) = — log (M — N), ou Iog(M* — N*)=o; doncM^— W=i.
76. Il est à remarquer que la suite — ô-r-g + gnS? """ ®*^' > ™é™®
en supposant x assez grand , n'est convergente que dans un certain nombre des prwiiers termes; car on sait que les nombres Bernoulliens dont les expressions sont fort irrégulières , croissent continuellement passé le troi-
426 INTEGRALES EULÉRIENNES,
sième terme, de manière que si T^'^ et T^"^«^ sont deux termes consécutifs
des rangs /i et /i H- 1 , le rapport -^çy- a pour limite — . La suite qui ex-
prime log R sera donc convergente pendant un assez grand nombre des premiers termes, si x est de plusieurs unités; mais elle finira par être divergente ^ et donnerait une valeur de log R d'autant plus fautive qu'on la continuerait plus loin au-delà dn terme où elle cesse d'être convergente.
De là on voit que pour une valeur donnée de a:, il y a un terme qu'on
ne doit pas passer dans le calcul de la suite "" wZ3 "J" ^^^"i ^® terme
auquel il faudra s'arrêter est celui qui serait suivi d'un terme plus grand ; alors l'approximation ne peut aller plus loin , mais elle sera tout aussi étendue qu'on voudra, en prenant x suffisamment grand.
Il en serait de même de la série R = i H [- -î — * etc. ; mais
celle-ci n'est pas d'un usage aussi facile que la série -j- . , -j- etc.,
