CHAPITRE IK

on pourra faire

îr la «)"=« •

Celte valeur, au moyen de la formule (10) y devient

et en mettant n au lieu de 9r;r, on en déduit aisément

log n := — an r— ^ Ipg (îr/i).

Soit, par exemple, ars:5 et ju=i6y ou aura log A =— 53.96. A ce logarithme hyperbolique répond le logarithme .vulgaire r-- 14.75, de sorte qu'on a n^ io""'**'*j c'est-à-dire, qu'au moyen des 16 premiers termes

de la suite — tTj ■+" ®*^* > ^° ^^^^ ^* valeur de log R approchée jusqu'à i5 décimales environ. Si on faisait J?= 10, on pourrait avoir 29 ou 5o décimales exactes et ainsi de suite

79. Cette théorie est facile à vérifier , puisque , toutes les fois que x est un entier, la valeur de r(i+â:) est exactement j.2.5....;r. Soit par exemple a: = S , il résulte des formules précédentes que la série ^ale à log R cessera d'être convergente après un nombre de term^ ''= 9 ou 10, et que le nombre de décimales exact , obtenues par ces neuf ou dix termes , sera de 8 ou 9.

En effet, la vraie valeur de log R se déduit de l'équation 6^/-J (6^)^R,

laquelle donne

log R = 0.02767 79256 86.

Cette même valeur déduite de la suite log R = -r — — r-T-js H*^"^'" ^^^-j

se trouve en calculant successivement les difi^^caoB termes, comme il suit :

4a8 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

i" terme •• + 0.02777 77777 78

a' — o.oooio 28806 58

Oa voit que, conformémeat à la formule, la série cesse d'être convergente

passé le to* terme, et que la valeur de log R qui en est déduite, doit être

comprise entre 0.02767 7926296 et 0.02767 79200 98; ce qui donne

par un milieu

log R= 0.02767 79256 97,

valeur exacte, presque jusqu'à la onzième décimale. Mais , en continuant la suite plus loin , on s'éloignerait de plus eu plus du vrai résultat.

Cet exemple met dans tout son jour la manière de tirer tout le parti possible, pour les approximations^ des suites demir^onî^ergentes ^ c'est-àdire des suites qui sont convergentes dans les premiers termes, et qui deviennent ensuite divergentes .

80. Cherchons maintenant une formule qui donne le développement de