CHAPITRE IX

1<^ Tx y lorsqu'on suppose x plus petit que Uanité. Soit pour cet effet

cette dernière suite étant prolongée à l'infini.

Nous regarderons la quantité M comme une fonction continue de Xy puisque sa valeur peut se développer ainsi (Cale, diff.^ page 44^) :

M = log^H-CH-^— A. + ^^^ + etc.; (12)

cette formule donnera immédiatement la valeur approchée de M lorsque X sera plus grand que l'unité , mais on en peut déduire aussi cette valeur lorsque x sera plus petit que l'unité. Car M(j:) et M(a:-{- i) désignant des fonctions semblables de a: et de ^ + 1 9 on a évidemment

et l'application répétée de cette formule fera dépendre M (or), succesdvement de M(j?-|-i), de M (a: +2), etc., c'est-à-dire en général d'une formule M (a/), oii la variable sd surpassera x de plusieurs unités, ce qui permettra de déterminer facilement M (a/) par la série précédente.

81. Cela posé, si x devient x^cù^eo étant plus petit que l'unité, les fonctions M (a:) et N(ir), deviendront M (a: -j-«) et N(j: + «); or, je dis que la somme M (x) -j-N (a:) c= M (a? + <») +N (x + a), et que les deux sommes sont égales à une même constante C.

En effet, si la suite qui a pour somme N(x), au lieu d'être prolongée à

l'infini, éuit continuée seulement jusqu'au terme ^^-7^ , m étant un nombre entier très grand , la somme M (a:) + N(j:) et la somme M (^+«) + '^{^X'\-(iù) ne pourraient différer entre elles que d'une quantité moindre

que \ ^ puisque cette différence est celle qui a lieu lorsque û) = i.

Or, m étant très grand, la différence , ^ , ^ est censée nulle; à plus

forte raison le sera-t-elle, lorsque la suite N(^) sera prolongée à l'infini.

On aura donc

mais puisque la valeur de N est

T. II. 73

45o INTÉGRALES EULÉRIENNES,

+ 5-T — h etc-

Si on développe chacune de ces fonctions dans l'hypothèse que x est plus petit que l'unité, on aura

H- ;r* (i + l+l+ij + etc. ) — etc.

La première partie i +7+7 + ^+ etc. , n'est autre ohose que la oonstante C.; car la fonction M(^) est zéro lorsque ^s=0; donc cm aura

M = S.ar — SjX'H-S^a:' — Sbo:* + etc., (i5)

Sb représentant en général la somme des puissances réciproques, de degré n, des nombres naturels.

82. Mais, d'après l'équation (i) dont le premier membre = xTXj on a, en supposant x^i y

.-^ = loga:--- — + ^,-gjP + etc., (i4)

et dans la même hypothèse ou a, siûvant l'équation (la) ,

donc

équation qui doit avoir lieu quel que soit â?, puisque M peut être regardée comme une fonction continue de x.

Substituant donc au lieu de M le développement de cette fonction donnée par l'équation (5) dans l'hypothèse de a: < i , on aura

^^^^=— i-C+S^ — S,a:*+S,x» — etc., (16)

ce qui donne en in tarant

logr^ = — logj: — CxH-iS.aî*— ISaJc'H-^S^x* — etc. (17)

On n'ajoute pas de constante, parce que xTx our(i + a:) se réduit à l'unité, lorsque x=so.