CHAPITRE X
]a dernière donne immédiatement e^ s= n". Pour avoir la valeur de A , il faut distinguer deux cas, selon que n est pair ou impair.
Soit, I^ 72=2771, les fonctions T-, T- r ~ , r ^"" ' auront
un terme moyen F î = ^^ic , et les termes également éloignés des extrêmes étant complémens l'un de l'autre , leur produit sera donné par l'équation (5); et on aura pour le produit total de ces fonctions ,
. w 2flr » Sx , m— 1 . «• . 2W Ar m-^i
sm - sin — 8in — . siq — x sm - sin — sm *— . . . .sm • »
Mais en faisant z infiniment petit dans la formule qui termine l'art, vl^o y Introd. in An. inf. , on trouve
sm- sm — sm — sin ^= a ^ 1/7»;
ce qui donne, dans le premier cas,
ri rî r- r^^^^ = (a:T)^«"',
et par conséquent
A = (a-TT) » 71».
Soit, 2''. 7i = a'7iH* I9 il i^'y d^^u^ point de terme moyen dans la suite r -, r -, r - r ^— -^; mais les termes Clément éloignés desextrémes
étant toujours complémens l'un de Pautre , le produit de toutes ces fonctions sera
«r * . 2«" . miF . ir . a» , nur* "*
sin — sm — sm — sin - sm — sm —
D'une autre part , la formule citée d'Euler donne , lorsque n est impair^
sm - sm — sm — • • . • . sm — = 2 * 7»* ;
donc on a encore dans ce cas ,
rirîr? r ii^ = (a^r)^ »-%
et par conséquent,
A = (air) » »'.
444 INIEGRALES EULÉR1ERNES,
Donc , quel que soit le nombre eutier n , on aura g^éralement la formuli
rxr(;;+:c)r(î+«)... r(i^+x)=rtnx).(OT)'^ »«-~...
97. Cette formule très remarquable comprend comme cas particuliers formules (28) > (39) et (5o); elle eu donnera tant d'autres qu'on voudra prenant pour n des valeurs en nombres entiers au-dessus de 5.
Il est bon néanmoins d'observer que les fonnules qui résultait de Vét tion (3i), en prenant pour n un nombre composé, ne sont que des cm queuces de celles qui ont lieu en ne prenant pour n que des nombres 1 mîers, et qu'ainsi il suffit de considérer ces dernières , en donnant à n les leurs successives 2, 3,5, 7 , 11, etc. On obtiendra encore de cette man: une iufioité d'équations auxquelles les fonctions V doivent sati^fâii^ , et donnent les moyens de multipliera l'infini les comparaisons et les réductî dont ce genre de transcendantes est susceptible.
98. Nous observerons encore que dans les usages de la formule (3 1) el
toutes celles qui en dérivent, on peut se borner à faire x ^-jcar &il*on 1 — h ^ Â la place de x, la formule qui naît de ceHe subsUtutïon ne difi
pas de la formule (3i); de sorte qu'on n'obtiendra entre les fonctii r que les mêmes relations qui peuvent être obtenues en supposi
99. Nous pouvons même aller plus loin , et démontrer qu'il suffira faire x < — , parce que l'équation qui viendrait en supposant a:= — -4. ne diOërera pas esseutiellement de celle que donne la snppositi
En effet, si l'on {ait successiremeut ces deux substitutions dans l'équ tion (3 1 ) , on aura
r (à+'Hl+^X^)- ■ ■rC-=^+«)=r(}+'.»)(»*)'^ »" r a:-)<è-»)r(r-»)- • .T(^'-^yra-n.)i..y? „-
multipliant ces deux équatioas entre elles , et observant que chaque fon tion r dans une équation, trouve son complément dans l'autre, on au pour le produit total cette équatiou ,
