CHAPITRE X

laquelle en faisant -^ + «9r= z , peut être mise sous cette forme ,

sin «2=2— sin z sin (^ + 2) sin (21 4.2^. . . .^^QlZl nc+z):

c'est Fëquation déjà citée de Part. 340, Introd. in An. inf.

De là on voit que les deux équations obtenues en faisant a: = — 4- « ,

•a: es — — « , ne donnent qu'un seul et même résultat , et qu'ainsi dans l'application de l'équation (3 1) , il suffira de faire x<—. On peut remarquer encore qu'en faisant c» = o, on a la formule

r— 1— r — r zszi^nc) « ri,

laquelle se déduirait aisément de la formule générale

100. 11 ne sera pas inutile de rassembler ici sous un même point de vue^ toutes les équations qui contiennent les propriétés générales des fonctions F. Yoici ces formules , accompagnées des lettres qui serviront dans la ^uite à les désigner.

(A) ra:= 1.3.5. . ..(a:—- 1)^

(B) r(i+x)=arra:,

A A'!kx

(D) YxT G + Jc) = r (aar) . (ott)» 2 •

(E) ^a:^(i+x)^^H-ar) = ^(5a:).(2STV3^-^^

(F) ra:r(i+^)r(|+ar)r(f + x)r(| + a:)=r(5a:).(2^)*5^-y

(N) ra:r(i+a:)rQ+*)...r(îi:=iiH-x)==rM^

Ces équations offrent une infinité de manières de comparer entre elles les fonctions Ty et d'opérer toutes les rédactions que leur nature comporte. Ou

446 INTÉGRALES EUU^RIENKES ,

peut démoDlrer, par exemple, qu'il suflil de connaître la fonction F dans une petite partie de la première période, pour i)ouvoir déterminer cette fonction dans tout le reste de la période. On peut aussi considérer parmi les fonctions TXy celles qui se rapportent aux diverses valeurs rationnelles de x qui ont un même dénominateur, et se proposer de réduire toutes ces transcendantes au moindre nombre possible. De là naissent diflférens problèmes curieux qui jetteront un nouveau jour sur la nature des fonctions F , et sur lesquels nous allons donner quelques reclicrches.

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