CHAPITRE XL

Cela posé, si dans l'équation (D) on fait xs=j-{- et, on aura

Mais par l'équalion (C) on a (| + «) = — (^ — *) + <i, et par l'équation (D), (î •+■ 2a) = (4») — (aa) + d; donc

Tant qu'on aura et < -j^, cette équation déterminera la fonction (x) ou (4+*) par d'autres fonctions où x est moindre. Ainsi en donnant à (t toutes les valeurs depuis A=zo jusqu'à a = -^, on connaîtra la fonction (x) depuis or = ^ jusqu'à x=z^.

I02. Par exemple, soit j:=s^, ou *== ^, on aura

(fj = Cf.) + G) - (i^) H- '^z

ainsi la valeur de (^) est composée de quantités connues. Soit encore a: = ^ ou a = -^j on aura

Dans le second membre, la fonction (^) n'est pas donnée immédiatement, puisque (i^) est >> ^ ; mais on aura sa valeur par la même formule , en faisant a = ^— 4 = ^jce qui donne

d'où l'on voit que (^) deviendra entièrement connu.

I o3. Lorsqu'on fait ^ = j ou oi = 7^ , la formule précédente ne détermine pas la fonction (j) j mais alors les équations (C) et (D) donnent immédiatement

a)H-(f)=rf, (è)+a)-(i)=^;

d'où l'on tire la valeur cherchée

Connaissant la fonction (x) depuis a? = o jusqu'à xss ^ , il reste à la déterminer depuis x=il jusqu'à a: = |. Or, par la combinaison des équations (C) et (D) , on a la formule

Si l'on donne à * toutes les valeurs depuis a= o jusqu'à « = |, le second membre sera connu ; ainsi on aura la valeur de la fonction (x) ou (î — *)i

depuis xz=l jusqu'à wC ss ~.

448 mrÉGRALES EULÉRIEINNES,

On peut donc déterminer la fonction Fr pour toute valeur de la racine x, pourvu qu'on connaisse cette fonction depuis x = o jusqu'à a:=s ^.

Ce problème revient à celui que nous avons résolu dans l'art. 53 ; mais la méthode précédente fait voir plus clairement la posnbilité de la solution.

io4« Il ne serait pas difficile d'ailleurs d'obtenir les solutions effectives, en réalisant les quantités désignées par d; on trouverait alors les trois équations

(4 + a)=(i-a)-(2*) + (4«) + a + aa)/3 + /sina — «)^,

La première servira à déterminer la fonction (x) depuis x = ^ jusqu'à jr ^ j ; la seconde déterminera la fonction ^ ; et la troisième servira à déterminer la fonction (x) , depuis x = j j usqu'à x = î . Enfin , d'après ces données y l'équation (C) servira à déterminer la fonction (x) , depuis x =: { jusqu'à x= i.

io5. Puisque l'emploi des équations (C) et (D) donne les moyens de réduire à ^ la partie de la première période où la fonction Tx doit être connue, afin de déterminer cette fonction dans la période entière, on peut conjecturer de là que si à ces équations on joint l'équation (E) , il sera possible de rér duire ultérieurement à ^ (i — ^) ou | , la partie de la période qui sert à dé^ terminer tout le reste. C'est ce que nous allons yéri6er par une analyse semblable à la précédente.

Supposons que la fonction (x) est connue depuis xso jusqu'à xss^; d'après l'équation (E) on aura

(!+«)+ a+«)-i-M+«)--a+5«)=rf.

Mais l'équation (D) donne (i -|- «) = (2«b) — (ot) + rf, (i-f-3«) = (6«) -- (3a) + dy et l'équalion (C) donne (1 + a) = — (i — *) -f. </j on a donc la formule

G+-*) = (è — «) + (*) — (2a) — (5a) + (6a) + rf:

Tant que 6* sera plus petit que g^ + a, ou tant qu'on prendra a < ^^ cette équation donnera la valeur de (x) ou fj-t-a) par des fonctions dont la racine est moindre. Ainsi on connaîtra la valeur de la fonction (x) depuis X = ^ jusqu'à X = |.

La formule précédente ne détermine pas la valeur de la fonction (j) j mws par une autre formule que nous donnerons ci-après (art. 1 16), on a

106. Il reste à déterminer la fonction (x) depuis x= j jusqu'à x=i.