CHAPITRE XI

Pour cela, soit d^^-f-z, l'ëquation précédente deviendra

Pour faire usage de cette formule, U faut supposer connue la fonction (?+is} depuis 2=5 0 jusqu'à z=z(ià, e^ étant une quantité aussi petite qu'on voudrai. Alors donnant à z toutes les valeurs depuis z s: o jusqu'à z = ^^ on connaîtra la fonction (x) ou (y ^ôz)^ depuis xz=j jusqu'à j: = j.

On peut aussi ne faire usage de la formule précédente que depuis zc=o jusqu'à z=^, ce qui fera connaître la fonction (x) depuis ^t=| jusqu'à ^r=|. On déterminera ensuite cette fonction depuis J?= j jusqu'à ^=7, par la formule

Cette solution est fort simple, puisqu'elle est fondée sur une seule formule mise sous deux formes différentes ; mais elle suppose qu'outre la partie de la période connue depuis ^=0 jusqu'à ^=f, on connaît encore la partie comprise depuis xs= j jusqu'à x=:^^€^, (ù étant une quantité qui, à la vérité, peut être aussi petite qu'on voudra, mais qui ne peut être tout-à-&it anéantie. Yoici un autre moyen de résoudre le même problème, en supposant connues deux parties de la période non contiguës, mais telles que leur somme se réduit précisément à |.

107. Supposons la fonction (x) connue dans deux parties de la première période, savoir, depuis ^rso jusqu'à x^=^y^^ et depuis xzsz-^ jusqu'à x=-^: ces deux parties réunies font une somme égale à ^; et pour déterminer la fonction (or) dans tout te reste de la période, il faudra exécuter les opérations suivantes:

I •. Par les formules (E) et (C) , on a

le second membre est connu depuis et = o jusqu'à «= ^, ainsi on connai* trala fonction (x) depuis x=q jusqu'à x^=^\. 2^. D'après les équations (C) et (D), on a

C4-0=C-5->C-1ïO+*

le second membre est connu depuis a = o jusqu'à «:= ^; donc on connaîtra la fonction {x) depuis xs= o jusqu'à j? = ^.

3"*. Mettante — i à la place de a, dans l'équation précédente ^ on en tire

45o INTÉGRALES EULÉRIENNES,

le second membre de celle-ci est connu depuis a = o jusqu'à a =s ^ ; donc on connaîtra la fonction (x) depuis a: =-^ jusqu'à a: = ^.

Par ces trois premières opérations, la fonction (x) devient connue depuis xsszo jusqu'à x=j^y et depuis JC = ^ jusqu'à ar=="^. Il faut maintenant remplir la lacune que laissent ces deux espaces, depuis x^ ^s V^' qu'à X = ^ , ou depuis x = j — 7^ jusfju'à or = f-f- 7^0-

4*. D'après l'équation (D) , on a

les termes (1^ + «) > (j + 22) peuvent être remplacés par leurs complémens — (7%— 2)* — ff^^^z); ensuite par l'équation (D), le terme (| — az) peut être remplacé par (5 — ^z) — {j^ — 22). On aura donc

Dans cette équation , le second membre sera toujours connu , pourvu que :: positif ou négatif ne surpasse pas xô*

Cela posé, donnons à z toutes les valeurs depuis z =5 ^^ jusquà .2 = 7!^; la fonction (^-^4^) ^^t connue dans cet intervalle; ainsi on connaîtra la fonction {x) représentée par (j+2), depuis « = j-f-^Yô jusqu'à X = j-f-7fô» Donc l'intervalle où la fonction (je) reste inconnue ne s'étend plus que depuis J: = j — 7^ jusqu'à a: = j-f- 77^.

Donnons maintenant à 2 des valeurs négatives, depuis 2 =*— ^ .7^ jusqu'à 2 = — 7^; la fonction (I — 4^) ^^^^ connue dans cet intervalle, ainsi on connaîtra la fonction (j+ 2) depuis z ==— ^^ jusqu'à s = — 7^ ; de sorte que l'intervalle où la fonction (x) reste inconnue se trouve de nouveau resserré entre ^= j — ^^ et a: = j + 7^.

On continuera de procéder de la même manière, en attribuant à z des valeurs alternativement positives et négatives. Si l'intervalle inconnu s'étend d'abord depuis ^=^ — « jusqu'à a;=3 j+ 4û>, une première opération resserrera cet intervalle entre les limites x=z\ — û), a:=j-+.-û>; une seconde opération le resserrera encore entre les limites x = j — — cà et a:=5 j -j-^«, et ainside suite. D'où l'on voit que l'intervalle inconnu finira par s'anéantir dans la limite a: =3 j ; et en ce point on aura , toujours d'après la même formule ,

5*. La valeur de la fonction {x) étant connue depuis or = o jusqu'à ^== "^ > po**r la trouver depuis a: =a ^ jusqu'à a: :s ^, on fera usage de la