CHAPITRE XII

Formules pour réduire au moindre nombre possible les trans-

étant un nombre entier donné.

cendantes contenues dans la suiteY - ^ F -^ F - F ^ ^

109. Oi n est un nombre premier^ on ne pourra faire usage que de l'équa* tion des complémens (C) , et les transcendantes dont il s'agit ne pourront être réduites à un nombre moindre que | ( /i— - 1)« Mais si n est un nombre composé, chaque facteur premier de/» donnera lieu à l'application deceUe des équations (D), (Ë), CE), etc., qm est relative à ce facteur^ et il en

45a INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

résultera des réductions d'autant plus multipliées, que n aura plus de fac-* teurs simples.

Si n est divbible par a | on pourra appliquer l'équation (D) , dans laquelle

on fera successivement x=s-, x=-, ^=-, etc., jusqu'à x = j ce qm donnera autant d'équations de condition entre les fonctions F - , F - , F- F "^ . On se borne à chercher des relations entre ces fbnc-

lions ^ parce que les suivantes, jusqu'à F , se déduisent de

par l'équation (C), excepté F j, dont la valeur est connue.

Si n est invisible par 5 , on fera l'application de l'équation (E) , en don-

nant à x les valeurs successives -, -, - . • • • jusqu'à g exclusivement , ce

qui donnera de nouvelles équations de condition.

On fera un semblable usage de l'équation (E) , si n est divisible par 5 ; de réquation (F), si n est divisible par 7, et ainsi de suite.

On aura de cette manière toutes les équations de condition qui serviront à rédmre au moindre nombre possible les transcendantes F - ,

F - F — — , et qui feront connaître en même temps celles de ces

fonctions qui sont nécessaires pour exprimer toutes les autres.

iio. Considérons pour premier exemple le cas de /i=i2j et désignons,

pour abréger, log F ( — j par ZA:; la question est de réduire au moindre

nombre possible les transcendantes Zi , Za , Z3, Z4> Z5; et pour cela nous aurons à faire l'application des équations (D) et (E) , puisque n a pour facteurs premiers 2 et 3.

Les valeurs à substituer dans l'équation (D) se réduisent à deux seulement, x=^j x=fy , parce qu'on doit supposer a: < ^; il en résulte les deux équations de condition

Zi 4- Z7 — Za = ^/tt + |/a, Za + Z8 — Z4 = i ftr + ± I2.

Au lieu de Z7 et Z8, il faut introduire les complémens Z5 et Z4, ce qui se fera par l'équation (C) , qui donne , en &isant y^tt^zcù j

Z5 + Z7 = l-r^ = l'7C + a/a + / sin t», Z4 + Z8 = /5^ = /^H- /a -.1/5.