CHAPITRE XII

Cette substitution donnera

Z5 = Zi — Za+i/^ + f/a + /sinû>,

L'équation (D) ayant fourni deux équations de condition, on voit que les cinq transcendantes dont il s'agît se réduisent à trois, qui sont Zi , Zs , Z3 j et cette solution est dans le fond la même que celle de Part. 1 8 , où

l'on n'a fait usage que des équations qui , pour les fonctions 0--J , répondent aux deux équations (C) et (D) relatives aux fonctions F. Mais l'application de l'équation (E) , due au facteur premier 3 , fournira encore une nouvelle réduction.

Puisqu'on doit prendre x < | , on n'aura à substituer dans l'équation (E) que la seule valeur x =2-^^ ce qui donnera l'équation de condition

Zi + Z5 + Z9 — Z3 = /(a^) + ^/3;

mais par l'équation (C) on a Z3 -f- Z9 =s / . ^ ^ et + ^ /a ; donc

Zi + Z5 — 2Z3 = ^/a+^Z3.

Substituant dans celle-ci la valeur de Z5 exprimée par Zi et Za, il viendra

Z3 = Zi — JZa + ihr + |/a — i/S + ^/sine»;

d'où l'on voit que les deux transcendantes Zi , Za suffisent pour déterminer toutes les autres : c'est le dernier terme des réductions qui peuvent avoir

lieu entre les diverses transcendantes désignées par T — •

m. Nous avions déjà atteint ce terme dans l'art. a4; mais nous n'y étions parvenu qu'à l'aide de diverses intégrations fort compliquées. En vertu de ces intégrations , on a déterminé le rapport des deux quantités M, , Ms , comme il suit :

rji = a3 O-* COS €0 = — : .

Or, par la formule du n** 4'j,on sl

M. = œ = ^it^,

donc

M« = (I) = iîri M. __ /rjVN £i T. IL 76

454 INTÉGRALES EULÉHIENNES,

égalant les deux valeurs de^, on pourra dëterminer T-^ par le moyen des

deux transcendantes Tir, T-^^ et on obtiendra ainsi, dans la notation précédente,

Z5 = Zi — IZa + ifcr + J/a — |/5 + i/sin«,

valeur qui s'accorde entièrement avee celle qu'on a déduite de l'équation (E).

Ainsi le résultat qui avait été trouvé presque fortuitement par des intégrations très difficiles, est donné immédiatement par l'équation (E). En général, il paraît que les seules réductions qui peuvent avoir lien entre les fonctions F, sont celles que donnent les équations (G), (D), (E) et les suivantes, lorsque l'application peut en être fiiite, à raison des nombres premiers qui sont diviseurs de n. Ges équations ont d'ailleurs l'avantage de conduire aux réductions par la voie la plus simple et la plus courte, comme on vient d'en voir un exemple ; elles paraissent donc ne rien laisser à désirer sur la théorie des fonctions F.

lia. Dans l'exemple dont nous venons de développer la solution, le calcul nous a conduits à prendre Zi et Za pour les termes avec lesquels, on devait exprimer tous les autres. Mais Z i et Za étant relatifs aux fonctions F-V y Tr^y il peut paraître plus simple de prendre pour termes de comparaison les fonctions F| et F^. Dans cette hypothèse, il faudra exprimer Zi , Za et Z5 par le moyen de Z3 et Z4« G'est ce qu'on peut faire facilement , au moyen des formules précédentes, et voici le résultat du calcul dans lequel nous

comprenons toutes les valeurs de log F — , excepté log Fj.

/Fi- = fl'i-t-/Fi-.-/^ — I/a +1/5 — i/sin^,

la 3 4 a ' '8'a la*

/r- = — /ri H- /,T + /a — -15,

la o * 2 '

n'^ = -/riH./,rH.i/.,

la

— /r4 — a'çH--l!r-t-ifa — |/5r- i/sin-.